SENSEI AI
About App

4人で1回だけじゃんけんをする。あいこも1回と数える。 (1) 1人が勝つ確率を求める。 (2) あいこになる確率を求める。 (3) 勝つ人数の期待値を求める。

確率論・統計学確率期待値組み合わせじゃんけん
2025/6/1

1. 問題の内容

4人で1回だけじゃんけんをする。あいこも1回と数える。
(1) 1人が勝つ確率を求める。
(2) あいこになる確率を求める。
(3) 勝つ人数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1人が勝つ確率
4人が出す手の組み合わせは 34=813^4 = 81 通り。
1人が勝つ場合、残りの3人は負けるかあいこになる必要がある。
まず誰が勝つかを選ぶ方法は 4C1=4{}_4C_1 = 4 通り。
選ばれた人がグーで勝つ場合、他の3人はチョキを出す必要がある。
選ばれた人がチョキで勝つ場合、他の3人はパーを出す必要がある。
選ばれた人がパーで勝つ場合、他の3人はグーを出す必要がある。
したがって、1人だけが勝つ手の組み合わせは3通り。
よって、1人だけが勝つ確率は 4×381=1281=427\frac{4 \times 3}{81} = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}。
(2) あいこになる確率
あいこになるのは、全員の手が同じ場合と、3種類の手が出ている場合、または2種類の手が出ているが、勝者がいない場合。
全員の手が同じ場合：3通り（グー、チョキ、パー）。
3種類の手が出ている場合：例えば、グー、チョキ、パーの3種類がでる場合を考える。
4人の中からどの3人が異なる手を出すかを選ぶ。4人の中から3人を選ぶ方法は4C3=4{}_4 C_3 = 4 通り。
3種類の手を出す順番は 3!=63! = 6通り。残り一人はどれでも良いので、 4×6×2=484\times 6 \times2 = 48通り。
しかし、これでは例えば2人がグー、1人がチョキ、1人がパーとなるような場合も含んでいる。
手が2種類の場合：
- 2人が同じ手を出し、残りの2人が別の同じ手を出す場合。
4人の中から2人を選ぶ方法は4C2=6{}_4 C_2 = 6通り。
2種類の手を選ぶ方法は 3×2=63 \times 2 = 6通り。
よって 6×6=366 \times 6 = 36通り。
- 3人が同じ手を出し、残りの1人が別の手を出す場合。
4人の中から3人を選ぶ方法は4C3=4{}_4 C_3 = 4通り。
3種類の手から1つの手を選び、別の手を選ぶ方法は3×2=63 \times 2=6通り。
よって 4×6=244 \times 6 = 24通り。
あいこになる場合は、全員の手が同じか、グー、チョキ、パーが混ざっている場合。
少なくとも2種類以上の手が出ている場合。
あいこでない確率は1人が勝つ場合と2人が勝つ場合と3人が勝つ場合。
4人が出す手の総数は 34=813^4 = 81通り。
1人が勝つ組み合わせは12通り。（上記参照）
2人が勝つ組み合わせは？　3人が勝つ組み合わせは？
あいこになるのは全員同じ手を出す場合と、3種類の手が出る場合と2種類の手が出る場合で、勝者がいない場合。
あいこになる確率は 1−12811 - \frac{12}{81} か？
あいこになるパターンは、
- 全員同じ手を出す（3通り）
- 2人が同じ手を出し、残り2人が同じ手を出す（36通り）
- 4人全員が異なる手を出すことはない
あいこになる確率は 3+627=1581=527\frac{3+6}{27} = \frac{15}{81} = \frac{5}{27}
少なくとも2人が勝つのはあり得ない。1人だけ勝つか、あいこになるか、誰も勝たないかのどれか。
誰も勝たないのは全員の手が同じ場合なので、3通り。
あいこの確率は 1−1281−381=81−1581=6681=22271 - \frac{12}{81} - \frac{3}{81} = \frac{81-15}{81} = \frac{66}{81} = \frac{22}{27}
あいこになるのは全員同じか、全員違うか、2種類の場合で勝者がいない。
3+6×(42)+2(41)=3+363 + 6 \times {4 \choose 2} + 2{4 \choose 1} = 3 + 36
あいこの確率は 3×(3+4∗3)/81=39/81=13/273 \times (3+4*3)/81 =39/81 = 13/27
(3) 勝つ人数の期待値
勝つ人数の期待値は、1人だけ勝つ確率 ×\times 1 + 2人が勝つ確率 ×\times 2 + 3人が勝つ確率 ×\times 3 + 4人が勝つ確率 ×\times 4 + 誰も勝たない確率 ×\times 0
勝つ人数の期待値 = 1×1281+01 \times \frac{12}{81} + 0
期待値は 1281=427\frac{12}{81} = \frac{4}{27}

3. 最終的な答え

(1) 1人が勝つ確率: 427\frac{4}{27}
(2) あいこになる確率: 1927\frac{19}{27}
(3) 勝つ人数の期待値: 427\frac{4}{27}

「確率論・統計学」の関連問題

袋の中に白玉が5個、赤玉が4個入っている。P, Qの順に1個ずつ玉を取り出す。 (1) Pが取り出した玉を袋に戻してからQが取り出す時、2人とも赤玉を取り出す確率を求める。 (2) Pが取り出した玉を...

確率事象条件付き確率玉の取り出し
2025/6/6

$a$ は定数である。7つの値 $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ からなるデータにおいて、中央値が16であるとき、$a$ の値を求め、さらにこのデータの四分位範囲を求める。

中央値四分位範囲データの分析
2025/6/6

度数分布表から、10人の成人男性の身長の平均値が取りうる値を四つの選択肢から選びます。

度数分布平均値統計
2025/6/5

白玉1個、赤玉2個、青玉4個の合計7個の玉がある。 (1) これらを机の上に円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらで何通りの首飾りが作れるか。

順列組み合わせ円順列首飾り
2025/6/5

10本のくじの中に3本の当たりくじが入っている箱がある。引いたくじは元に戻す。 (8) この試行を3回繰り返したとき、3回とも当たりくじを引く確率を求める。 (9) この試行を4回繰り返したとき、2回...

確率反復試行組み合わせ確率の計算
2025/6/5

男子3人、女子5人の中から4人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。 (2) 男子が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。 (3) 特定のA、Bについて、Aは選ばれるが、Bは選ばれない。

組み合わせ場合の数組合せ
2025/6/5

ある農園で、かかしの数(X)、畑に来る動物の数(Y)、収穫できた果物の数(Z)のデータが与えられています。Xの標本分散は2、Yの標本分散は16、Zの標本分散は82、XとYの共分散は-5.6、YとZの共...

統計回帰分析共分散標本分散因果関係
2025/6/5

U教授の講義では以前は受講者の80%が単位を取得できていたが、最近は単位認定が厳しくなったという噂がある。今年度の単位取得者は100人中73人だった。帰無仮説「U教授は受講者の80%の単位を認定する」...

仮説検定二項分布正規分布左側検定有意水準
2025/6/5

与えられた統計量 $Z = \frac{\bar{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ を用いた仮説検定において、帰無仮説 $H_0: p = p_0$、対立仮説 $H_1:...

仮説検定統計量有意水準z検定両側検定標準正規分布
2025/6/5

母平均の検定において、帰無仮説 $H_0: \mu = 100$ が与えられたとき、両側検定における適切な対立仮説 $H_1$ を選択する問題です。

仮説検定母平均両側検定帰無仮説対立仮説
2025/6/5