与えられた関数の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^2 + 4x + 1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^2 + 4x + 1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、分子と分母を $x$ の最高次数の項で割ります。

この場合、$x$ の最高次数は $x^3$ です。しかし、分母の次数が2であることに注目して、分子と分母を$x^2$で割ることもできます。

しかし、分子の次数の方が大きいので、$x$の最大次数である$x^3$で割るのが一般的です。

まず、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^2 + 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^3}{x^2} + \frac{3x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3 + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x^2} \to 0$, $\frac{4}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3 + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{2}$

$x \to \infty$のとき$4x+3 \to \infty$なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{2} = \infty$ となります。

または、分子と分母を $x^3$ で割る場合を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^2 + 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{2x^2}{x^3} + \frac{4x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}}{\frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$, $\frac{2}{x^3} \to 0$, $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, $\frac{1}{x^3} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}}{\frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{0}$

したがって、極限は正の無限大に発散します。

3. 最終的な答え

$\infty$