次の2つの定積分を計算します。 (i) $\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \sin x^2 dx$ (置換積分 $u = x^2$ を用いる) (ii) $\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2}$ (置換積分 $x = 3 \tan u$ を用いる)

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(i) $\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \sin x^2 dx$ (置換積分 $u = x^2$ を用いる)

(ii) $\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2}$ (置換積分 $x = 3 \tan u$ を用いる)

2. 解き方の手順

(i) 定積分 $\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \sin x^2 dx$ の計算

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき $u=0^2=0$、$x=\sqrt{\pi}$ のとき $u=(\sqrt{\pi})^2=\pi$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \sin x^2 dx = \int_{0}^{\pi} \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin u du$

$\int_{0}^{\pi} \sin u du = [-\cos u]_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1+1 = 2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin u du = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

(ii) 定積分 $\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2}$ の計算

$x = 3 \tan u$ と置換すると、$dx = 3 \sec^2 u du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき $0 = 3 \tan u$ なので $u=0$、$x=3$ のとき $3 = 3 \tan u$ なので $\tan u = 1$、つまり $u=\frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3 \sec^2 u}{9 + (3 \tan u)^2} du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3 \sec^2 u}{9 + 9 \tan^2 u} du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3 \sec^2 u}{9(1 + \tan^2 u)} du$

$1 + \tan^2 u = \sec^2 u$ であるから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3 \sec^2 u}{9 \sec^2 u} du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{9} du = \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du = \frac{1}{3} [u]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(i) $1$

(ii) $\frac{\pi}{12}$