$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=\sqrt{13}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$のとき、$\vec{a} - 2\vec{b}$と$\vec{a}$のなす角$\theta$を求める。

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=\sqrt{13}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$のとき、$\vec{a} - 2\vec{b}$と$\vec{a}$のなす角$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

$\cos \theta = \frac{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} - 2\vec{b}| |\vec{a}|}$である。

まず、$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a}$を計算する。

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$|\vec{a}|^2 = 2^2 = 4$

よって、$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a} = 4 - 2(5) = 4 - 10 = -6$

次に、$|\vec{a} - 2\vec{b}|$を計算する。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 2^2 - 4(5) + 4(\sqrt{13})^2 = 4 - 20 + 4(13) = 4 - 20 + 52 = 36$

$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$

したがって、

$\cos \theta = \frac{-6}{6 \cdot 2} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$より、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$