$\triangle ABC$ において、$\angle ACB$ が鈍角で $BC > AC$、かつ $AB=6$, $BC=3\sqrt{2}$, $\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。 (1) $\sin{\angle BAC}$ の値を求めよ。 (2) $\cos{\angle BAC}$ の値を求めよ。また、辺 $AC$ の長さを求めよ。 (3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となるような点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\angle ACB$ が鈍角で $BC > AC$、かつ $AB=6$, $BC=3\sqrt{2}$, $\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。

(1) $\sin{\angle BAC}$ の値を求めよ。

(2) $\cos{\angle BAC}$ の値を求めよ。また、辺 $AC$ の長さを求めよ。

(3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となるような点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$

$\sin{\angle BAC} = \frac{BC \cdot \sin{\angle ACB}}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{24} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{6\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos^2{\angle ACB} + \sin^2{\angle ACB} = 1$ より、

$\cos^2{\angle ACB} = 1 - \sin^2{\angle ACB} = 1 - (\frac{\sqrt{14}}{4})^2 = 1 - \frac{14}{16} = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

$\angle ACB$ は鈍角なので、$\cos{\angle ACB} = -\sqrt{\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB$ より、

$\cos{\angle BAC} = \cos{(180^\circ - \angle ACB - \angle ABC)}$

余弦定理より、$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos{\angle ACB}$

$6^2 = (3\sqrt{2})^2 + AC^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot AC \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$

$36 = 18 + AC^2 + 3AC$

$AC^2 + 3AC - 18 = 0$

$(AC+6)(AC-3) = 0$

$AC = -6$ または $AC = 3$

$AC>0$ より、 $AC = 3$

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{6^2 + 3^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 6 \cdot 3} = \frac{36 + 9 - 18}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$ より、$\triangle ACD$ は直角三角形である。

$\cos{\angle BAC} = \frac{AD}{AC}$

$AD = AC \cdot \cos{\angle BAC} = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{4})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{144-81}{16}} = \sqrt{\frac{63}{16}} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{24-9}{4} = \frac{15}{4}$

$\triangle BCD$ の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より

$\frac{CD}{\sin{\angle CBD}} = 2R$

$\sin{\angle CBD} = \sin{\angle ABD} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$2R = \frac{CD}{\sin{\angle CBD}} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$

$R = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

四角形 $OCDB$ の面積は $\triangle OCD + \triangle ODB$ である。

$\triangle OCD$ と $\triangle ODB$ は二等辺三角形である。

$\angle COD = 2\angle CBD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

$\angle BOD = 2\angle BCD$

しかし、問題の続きは難しい。

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos{\angle BAC} = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$