半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x - 4y - 15 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x - 4y - 15 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心と直線との距離が半径に等しいということです。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は原点 $(0, 0)$ です。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、次の式で表されます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、円の中心が $(0, 0)$ で、直線が $3x - 4y - 15 = 0$ なので、円の中心と直線との距離は、

$d = \frac{|3(0) - 4(0) - 15|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-15|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$

円と直線が接するとき、円の中心と直線との距離は半径 $r$ に等しいので、$r = d$ となります。

3. 最終的な答え

$r = 3$