次の関数を微分する。 (1) $cos(4x-3)$ (2) $tan(3x^2+2)$ (3) $x^4sin^3x$ (4) $cos^4(\frac{2}{x^3+1})$ (5) $\frac{cosx}{sinx+cosx}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する。

(1) $cos(4x-3)$

(2) $tan(3x^2+2)$

(3) $x^4sin^3x$

(4) $cos^4(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{cosx}{sinx+cosx}$

2. 解き方の手順

(1) $cos(4x-3)$ の微分

合成関数の微分を用いる。

$y = cos(u)$, $u = 4x-3$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -sin(u) \cdot 4 = -4sin(4x-3)$

(2) $tan(3x^2+2)$ の微分

合成関数の微分を用いる。

$y = tan(u)$, $u = 3x^2+2$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{cos^2(u)} \cdot 6x = \frac{6x}{cos^2(3x^2+2)}$

(3) $x^4sin^3x$ の微分

積の微分と合成関数の微分を用いる。

$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^4$, $v = sin^3x$ とおくと、

$u' = 4x^3$, $v' = 3sin^2x \cdot cosx$

$\frac{d}{dx}(x^4sin^3x) = 4x^3sin^3x + x^4(3sin^2xcosx) = 4x^3sin^3x + 3x^4sin^2xcosx$

(4) $cos^4(\frac{2}{x^3+1})$ の微分

合成関数の微分を繰り返し用いる。

$y = u^4$, $u = cos(v)$, $v = \frac{2}{x^3+1}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 4u^3 \cdot (-sin(v)) \cdot (-\frac{6x^2}{(x^3+1)^2})$

$\frac{d}{dx}(cos^4(\frac{2}{x^3+1})) = 4cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \cdot (-sin(\frac{2}{x^3+1})) \cdot (-\frac{6x^2}{(x^3+1)^2}) = \frac{24x^2}{(x^3+1)^2} cos^3(\frac{2}{x^3+1}) sin(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{cosx}{sinx+cosx}$ の微分

商の微分を用いる。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = cosx$, $v = sinx+cosx$ とおくと、

$u' = -sinx$, $v' = cosx-sinx$

$\frac{d}{dx}(\frac{cosx}{sinx+cosx}) = \frac{-sinx(sinx+cosx) - cosx(cosx-sinx)}{(sinx+cosx)^2} = \frac{-sin^2x - sinxcosx - cos^2x + sinxcosx}{(sinx+cosx)^2} = \frac{-(sin^2x+cos^2x)}{(sinx+cosx)^2} = \frac{-1}{(sinx+cosx)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $-4sin(4x-3)$

(2) $\frac{6x}{cos^2(3x^2+2)}$

(3) $4x^3sin^3x + 3x^4sin^2xcosx$

(4) $\frac{24x^2}{(x^3+1)^2} cos^3(\frac{2}{x^3+1}) sin(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{-1}{(sinx+cosx)^2}$