男性3人、女性2人の合計5人の中から、くじ引きで2人を選ぶ。 (1) 男女1人ずつが選ばれる確率を求める。 (2) 女性が少なくとも1人選ばれる確率を求める。

1. 問題の内容

男性3人、女性2人の合計5人の中から、くじ引きで2人を選ぶ。

(1) 男女1人ずつが選ばれる確率を求める。

(2) 女性が少なくとも1人選ばれる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 男女1人ずつが選ばれる確率

まず、2人の選び方の場合の数を求める。これは5人から2人を選ぶ組み合わせなので、

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

次に、男女1人ずつが選ばれる場合の数を求める。

男性の選び方は3人から1人を選ぶので$_{3}C_{1} = 3$ 通り。

女性の選び方は2人から1人を選ぶので$_{2}C_{1} = 2$ 通り。

よって、男女1人ずつ選ばれる場合の数は $3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、男女1人ずつが選ばれる確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

(2) 女性が少なくとも1人選ばれる確率

これは、余事象を考える方が簡単である。

余事象は「女性が1人も選ばれない」つまり「2人とも男性が選ばれる」場合である。

2人とも男性が選ばれる場合の数は、3人から2人を選ぶので、

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、2人とも男性が選ばれる確率は $\frac{3}{10}$。

女性が少なくとも1人選ばれる確率は、1から2人とも男性が選ばれる確率を引いたものなので、

$1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$。

3. 最終的な答え

(1) 男女1人ずつが選ばれる確率：$\frac{3}{5}$

(2) 女性が少なくとも1人選ばれる確率：$\frac{7}{10}$