1つのサイコロを4回投げるとき、出る目の数の和を確率変数 $X$ とします。このとき、確率変数 $X$ の分散を求めます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回投げるとき、出る目の数の和を確率変数 $X$ とします。このとき、確率変数 $X$ の分散を求めます。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げたときの目の数を確率変数 $Y$ とすると、 $Y$ は1から6までの整数値をそれぞれ $1/6$ の確率でとります。

$Y$ の期待値 $E[Y]$ は

$$E[Y] = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$$

$Y$ の2乗の期待値 $E[Y^2]$ は

$$E[Y^2] = \frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$$

$Y$ の分散 $V[Y]$ は

$$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$$

$X$ は4回の試行の結果の和なので、 $X = Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4$ と表せます。ここで $Y_i$ は $i$ 回目の試行の結果を表します。

$X$ の分散 $V[X]$ は、 $Y_i$ が互いに独立であることから、

$$V[X] = V[Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4] = V[Y_1] + V[Y_2] + V[Y_3] + V[Y_4]$$

全ての $i$ について $V[Y_i] = V[Y] = \frac{35}{12}$ であるから、

$$V[X] = 4V[Y] = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{35}{3}$