(1) 高さ19.6mから質量1.0kgの物体を静かに落とした時、地面に衝突する直前の速さを求めます。 (2) 水平と30°の角度をなす滑らかな斜面上に質量1.5kgの物体を静かに置いたとき、物体が斜面に沿って10m滑り落ちた地点での速さを求めます。 (3) 水平で滑らかな床上で、ばね定数25N/mのばねの一端を固定し、他端に質量1.0kgの物体を取り付けます。物体を0.50m伸ばした位置から静かに手を離したとき、ばねの縮みが0.30mになったときの物体の速さを求めます。

1. 問題の内容

(1) 高さ19.6mから質量1.0kgの物体を静かに落とした時、地面に衝突する直前の速さを求めます。

(2) 水平と30°の角度をなす滑らかな斜面上に質量1.5kgの物体を静かに置いたとき、物体が斜面に沿って10m滑り落ちた地点での速さを求めます。

(3) 水平で滑らかな床上で、ばね定数25N/mのばねの一端を固定し、他端に質量1.0kgの物体を取り付けます。物体を0.50m伸ばした位置から静かに手を離したとき、ばねの縮みが0.30mになったときの物体の速さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 自由落下運動について、エネルギー保存則または等加速度運動の公式を利用します。ここでは、エネルギー保存則を使います。物体の初期位置での位置エネルギーが、地面に衝突する直前の運動エネルギーに変換されると考えます。

位置エネルギー $U = mgh$

運動エネルギー $K = \frac{1}{2}mv^2$

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{2gh}$

ここで、$g = 9.8 m/s^2$, $h = 19.6 m$ なので、

$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 19.6} = \sqrt{384.16} = 19.6 m/s$

有効数字2桁で答えるので、$20 m/s$

(2) 斜面を滑り落ちる運動について考えます。重力加速度の斜面方向成分は $g\sin\theta$ です。エネルギー保存則または等加速度運動の公式を利用します。ここでは、エネルギー保存則を使います。

斜面方向の加速度を $a$ とすると、$a = g\sin30^\circ = 9.8 \times \frac{1}{2} = 4.9 m/s^2$

$x = 10 m$ 滑り落ちた地点での速度を $v$ とすると、$v^2 - v_0^2 = 2ax$ より、

$v^2 = 2ax = 2 \times 4.9 \times 10 = 98$

$v = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} = 7 \times 1.41 = 9.87 m/s$

有効数字2桁で答えるので、$9.9 m/s$

(3) ばねの弾性エネルギーと運動エネルギーの保存を考えます。

ばねの弾性エネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$

ここで、初期状態(0.50m伸びた状態)での弾性エネルギーは、

$U_1 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.50)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 0.25 = 3.125 J$

縮みが0.30mになった状態での弾性エネルギーは、

$U_2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.30)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 0.09 = 1.125 J$

エネルギー保存則より、

$U_1 = U_2 + \frac{1}{2}mv^2$

$3.125 = 1.125 + \frac{1}{2} \times 1.0 \times v^2$

$2 = \frac{1}{2}v^2$

$v^2 = 4$

$v = 2 m/s$

3. 最終的な答え

(1) 20 m/s

(2) 9.9 m/s

(3) 2 m/s