$\theta$を媒介変数とする楕円Cが、$x = \sqrt{5}\cos\theta$, $y = 2\sin\theta - 1$で与えられている。 (1) 楕円Cを$x, y$の式で表す。 (2) 点A(0, 3)から楕円Cに引いた2本の接線の方程式を求める。 (3) $p > 1$となる点B(0, $p$)から楕円Cに引いた2本の接線が直交するとき、$p$の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$を媒介変数とする楕円Cが、$x = \sqrt{5}\cos\theta$, $y = 2\sin\theta - 1$で与えられている。

(1) 楕円Cを$x, y$の式で表す。

(2) 点A(0, 3)から楕円Cに引いた2本の接線の方程式を求める。

(3) $p > 1$となる点B(0, $p$)から楕円Cに引いた2本の接線が直交するとき、$p$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}$、$\sin\theta = \frac{y+1}{2}$である。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、

$(\frac{y+1}{2})^2 + (\frac{x}{\sqrt{5}})^2 = 1$

$\frac{(y+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

(2)

点A(0, 3)を通る接線を$y = mx + 3$とおく。

$\frac{(mx+3+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$\frac{(mx+4)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$5(mx+4)^2 + 4x^2 = 20$

$5(m^2x^2 + 8mx + 16) + 4x^2 = 20$

$5m^2x^2 + 40mx + 80 + 4x^2 = 20$

$(5m^2 + 4)x^2 + 40mx + 60 = 0$

判別式D = 0より、

$D/4 = (20m)^2 - (5m^2 + 4)(60) = 0$

$400m^2 - 300m^2 - 240 = 0$

$100m^2 = 240$

$m^2 = \frac{240}{100} = \frac{12}{5}$

$m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}} = \pm 2\sqrt{\frac{3}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}$

接線の方程式は、$y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}x + 3$

(3)

点B(0, $p$)を通る接線を$y = mx + p$とおく。

$\frac{(mx+p+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$5(mx+p+1)^2 + 4x^2 = 20$

$5(m^2x^2 + 2m(p+1)x + (p+1)^2) + 4x^2 = 20$

$5m^2x^2 + 10m(p+1)x + 5(p+1)^2 + 4x^2 = 20$

$(5m^2 + 4)x^2 + 10m(p+1)x + 5(p+1)^2 - 20 = 0$

判別式D = 0より、

$D/4 = (5m(p+1))^2 - (5m^2 + 4)(5(p+1)^2 - 20) = 0$

$25m^2(p+1)^2 - 25m^2(p+1)^2 + 100m^2 - 20(p+1)^2 + 80 = 0$

$100m^2 - 20(p+1)^2 + 80 = 0$

$5m^2 - (p+1)^2 + 4 = 0$

$m^2 = \frac{(p+1)^2 - 4}{5}$

$m^2 = \frac{p^2 + 2p + 1 - 4}{5} = \frac{p^2 + 2p - 3}{5}$

$m = \pm \sqrt{\frac{p^2 + 2p - 3}{5}}$

2本の接線が直交するので、$m_1 m_2 = -1$

$\frac{p^2 + 2p - 3}{5} = -1$

$p^2 + 2p - 3 = -5$

$p^2 + 2p + 2 = 0$

$p = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i$

しかし、$m_1 m_2 = -1$となる条件は、２次方程式が実数解を持つことが前提なので、

異なる解法が必要になる。

楕円 $5y^2 + 4x^2 = 20$ に対して、点$(0,p)$ から引いた接線の傾きを $m$ とすると、接線の方程式は $y = mx + p$ と表せる。

これを楕円の式に代入して、接する条件を考えると、

$5(mx+p)^2 + 4x^2 = 20$

$(5m^2+4)x^2 + 10mpx + (5p^2-20) = 0$

この判別式が0となる条件は

$(5mp)^2 - (5m^2+4)(5p^2-20) = 0$

$25m^2p^2 - 25m^2p^2 + 100m^2 - 20p^2 + 80 = 0$

$5m^2 - p^2 + 4 = 0$

$m^2 = \frac{p^2-4}{5}$

ここで、2本の接線が直交するという条件から、$m_1m_2 = -1$である。

接線の傾きに関する2次方程式は、$5m^2 - p^2 + 4 = 0$ より、$m^2 = \frac{p^2-4}{5}$なので、２つの接線の傾きを$m_1$、$m_2$とすると、 $m_1^2 = m_2^2 = \frac{p^2-4}{5}$

$m_1 = \sqrt{\frac{p^2-4}{5}}$ 、 $m_2 = -\sqrt{\frac{p^2-4}{5}}$ とおくと、

$m_1m_2 = -\frac{p^2-4}{5}$

ここで、条件$m_1m_2 = -1$より、 $-\frac{p^2-4}{5} = -1$

$p^2 - 4 = 5$

$p^2 = 9$

$p = \pm 3$

$p > 1$ より、$p = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

(2) $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}x + 3$

(3) $p = 3$