円Oに内接する三角形ABCがあり、$∠ACB = 75°$、$∠OAC = 30°$である。このとき、$∠AOC$、$∠ABC$、$∠ADH$、$∠DAB$、$∠DAH$、および$\frac{DH}{BD}$の値を求める問題。

1. 問題の内容

円Oに内接する三角形ABCがあり、$∠ACB = 75°$、$∠OAC = 30°$である。このとき、$∠AOC$、$∠ABC$、$∠ADH$、$∠DAB$、$∠DAH$、および$\frac{DH}{BD}$の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $∠AOC$ を求める。

三角形OACはOA=OCの二等辺三角形なので、$∠OCA = ∠OAC = 30°$である。したがって、$∠AOC = 180° - 30° - 30° = 120°$である。

(2) $∠ABC$ を求める。

三角形の内角の和は$180°$であるから、$∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB$。

また、円周角の定理より、$∠ABC = \frac{1}{2} ∠AOC$。

従って、$∠ABC = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$である。

(3) $∠ADH$ を求める。

三角形の内角の和は$180°$であるから、$∠BAC = 180° - 60° - 75° = 45°$である。

$∠OAB = ∠BAC - ∠OAC = 45° - 30° = 15°$である。

三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、$∠OBA = ∠OAB = 15°$である。

$∠AOB = 180° - 15° - 15° = 150°$である。

$∠ADB = 180° - ∠DAB - ∠ABD$

$∠ADH = 90°$

$∠CAD = ∠BAC - ∠BAD$

(4) $∠DAB$ を求める。

$∠BAD= ∠BAO - ∠DAO = 15$

三角形ABDにおいて、$∠ADB + ∠DAB + ∠DBA = 180°$。ここで、$∠DBA = ∠OBA= 15°$。

$∠AOB = 2 ∠ACB$

$∠AOC = 2 ∠ABC$

$AH \perp BC$より、$∠AHC = 90°$。

三角形AHCにおいて、$∠HAC = 180° - ∠AHC - ∠ACH = 180° - 90° - 75° = 15°$。

従って、$∠DAH = 90 - ∠ADH = 90-30-15$

したがって、$∠BAD = 15°$となる.

(5) $∠DAH$ を求める。

三角形AHCにおいて、$∠ACH = 75°$、$∠AHC = 90°$より、$∠HAC = 15°$。

$∠DAC = ∠BAC - ∠BAD - ∠HAC = 45°$

よって、$∠DAH = ∠CAH - ∠CAD = 75°-15°= 30°$.

三角形AHDにおいて、$∠ADH = 90° - ∠DAH = 180-90 = 30°= 60.$

AHはBCに対する垂線なので、$∠AHB = 90°$

三角形ABHにおいて、$∠BAH = 180°- 90 -60 =30$。

従って、$∠DAH = ∠BAH- ∠BAD = 30 -15 = 15°$。

(6) $\frac{DH}{BD}$ を求める。

$∠BAD = 15°$、$∠DBA = 15°$より、三角形ABDはDA=DBの二等辺三角形である。

三角形ADHにおいて、$∠ADH = 90°$、$∠DAH = 15°$より、$DH = AD \tan(15°)$。

よって、$\frac{DH}{BD} = \tan(15°)$。$\tan(15°) = 2 - \sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

$∠AOC = 120°$

$∠ABC = 60°$

$∠ADH = 60°$

$∠DAB = 15°$

$∠DAH = 30°$

$\frac{DH}{BD} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

アイウ: 120

エオ: 60

カキ: 60

クケ: 15

コサ: 30

シ: 2

ス: 4