2次方程式の解の種類（実数解か虚数解か、重解かなど）を判別する問題です。具体的には、与えられた2次方程式の判別式 $D$ の値を計算し、その符号によって解の種類を判断します。

1. 問題の内容

2次方程式の解の種類（実数解か虚数解か、重解かなど）を判別する問題です。具体的には、与えられた2次方程式の判別式 $D$ の値を計算し、その符号によって解の種類を判断します。

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 + 6x + 1 = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。この場合、$a = 4$, $b = 6$, $c = 1$ なので、

$D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 36 - 16 = 20$

$D > 0$ より、異なる2つの実数解を持ちます。

(2) $x^2 + 2x + \sqrt{5} = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。この場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = \sqrt{5}$ なので、

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = 4 - 4\sqrt{5}$

$\sqrt{5} > 2$ なので、$4 - 4\sqrt{5} < 4 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$

したがって、$D < 0$ より、異なる2つの虚数解を持ちます。

(3) $9x^2 + 24x + 16 = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。この場合、$a = 9$, $b = 24$, $c = 16$ なので、

$D = 24^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 576 - 576 = 0$

$D = 0$ より、重解を持ちます。

(4) $x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。この場合、$a = 1$, $b = 2\sqrt{5}$, $c = 5$ なので、

$D = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 \cdot 5 - 20 = 20 - 20 = 0$

$D = 0$ より、重解を持ちます。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解

(2) 異なる2つの虚数解

(3) 重解

(4) 重解