$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用する。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係式を用いる。

$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係式を用いる。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$