(1) $\triangle ABC$において、$B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$, $BC = 4$であるとき、辺$AC$の長さと$\triangle ABC$の外接円の半径を求める。 (2) $\triangle ABC$において、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$とし、辺$BC$の中点を$M$とするとき、線分$BM$の長さを求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$において、$B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$, $BC = 4$であるとき、辺$AC$の長さと$\triangle ABC$の外接円の半径を求める。

(2) $\triangle ABC$において、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$とし、辺$BC$の中点を$M$とするとき、線分$BM$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle A$を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

次に、正弦定理を用いて、$AC$の長さを求める。

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$より、

$AC = \frac{BC \sin B}{\sin A} = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$

外接円の半径$R$も正弦定理で求める。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$より、

$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{4}{2 \sin 45^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

(2)

まず、余弦定理を用いて、$BC$の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

$M$は$BC$の中点なので、$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$AC = 2\sqrt{6}$

外接円の半径 $R = 2\sqrt{2}$

(2)

$BM = \frac{\sqrt{13}}{2}$