$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 5 : 3$ であるとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 5 : 3$ であるとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

* 正弦定理より、$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つので、$a : b : c = 7 : 5 : 3$ であることがわかります。

したがって、$a = 7k, b = 5k, c = 3k$ （$k$ は正の定数）とおくことができます。

* 最も大きい角は、最も長い辺の対角であるから、角 $A$ が最も大きい角です。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

* $0 < A < \pi$ より、$A = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi$ （または $120^\circ$）