水素原子において、電子がエネルギー準位の4番目から2番目に移動する際に放出される光子の波長をナノメートル単位で求める問題です。

1. 問題の内容

水素原子において、電子がエネルギー準位の4番目から2番目に移動する際に放出される光子の波長をナノメートル単位で求める問題です。

2. 解き方の手順

水素原子のエネルギー準位は、量子数 $n$ を用いて、$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ で表されます。

電子が4番目の準位（$n=4$）から2番目の準位（$n=2$）に移動する際のエネルギー変化 $\Delta E$ は、

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\Delta E = E_2 - E_4 = -\frac{13.6}{2^2} - \left(-\frac{13.6}{4^2}\right) \text{ eV}

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\Delta E = -\frac{13.6}{4} + \frac{13.6}{16} = -3.4 + 0.85 = -2.55 \text{ eV}

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放出される光子のエネルギーは、$|\Delta E| = 2.55 \text{ eV}$ です。

光子のエネルギー $E$ と波長 $\lambda$ の関係は、$E = \frac{hc}{\lambda}$ で表されます。ここで、$h$ はプランク定数、$c$ は光速です。

したがって、波長 $\lambda$ は、$\lambda = \frac{hc}{E}$ で与えられます。

$h = 4.136 \times 10^{-15} \text{ eV s}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ を用いると、

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\lambda = \frac{(4.136 \times 10^{-15} \text{ eV s}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{2.55 \text{ eV}}

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\lambda = \frac{12.408 \times 10^{-7}}{2.55} \text{ m} = 4.866 \times 10^{-7} \text{ m}

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$\lambda = 486.6 \times 10^{-9} \text{ m} = 486.6 \text{ nm}$

3. 最終的な答え

486.6 nm