静止していたエレベータが上昇を開始し、後に停止した。その間の鉛直方向の加速度が与えられたグラフ（正弦関数で近似できる波形）で表される。 (1) 時刻 $t$ のエレベータの加速度 $a(t)$、速度 $v(t)$、位置 $x(t)$ を表す式を求める。(0 < t < 6.28 ≈ 2π) (2) エレベータの停止時の位置（上昇量）を求める。

1. 問題の内容

静止していたエレベータが上昇を開始し、後に停止した。その間の鉛直方向の加速度が与えられたグラフ（正弦関数で近似できる波形）で表される。

(1) 時刻 $t$ のエレベータの加速度 $a(t)$、速度 $v(t)$、位置 $x(t)$ を表す式を求める。(0 < t < 6.28 ≈ 2π)

(2) エレベータの停止時の位置（上昇量）を求める。

2. 解き方の手順

(1) 加速度、速度、位置を求める。

加速度 $a(t)$ はグラフから $a(t) = \sin(t)$ とわかる。

速度 $v(t)$ は加速度 $a(t)$ を積分することで求められる。初期条件として $v(0) = 0$ を用いる。

$v(t) = \int a(t) dt = \int \sin(t) dt = -\cos(t) + C$

$v(0) = -\cos(0) + C = -1 + C = 0$ より $C = 1$。

したがって、 $v(t) = 1 - \cos(t)$

位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ を積分することで求められる。初期条件として $x(0) = 0$ を用いる。

$x(t) = \int v(t) dt = \int (1-\cos(t)) dt = t - \sin(t) + D$

$x(0) = 0 - \sin(0) + D = 0 + D = 0$ より $D = 0$。

したがって、$x(t) = t - \sin(t)$

(2) エレベータが停止するのは速度が0になる時である。つまり、$v(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$v(t) = 1 - \cos(t) = 0$

$\cos(t) = 1$

$t = 2\pi$ (範囲0 < t < 2πの条件より、0は除く)

停止時の位置は $x(2\pi)$ で求められる。

$x(2\pi) = 2\pi - \sin(2\pi) = 2\pi - 0 = 2\pi$

3. 最終的な答え

(1)

$a(t) = \sin(t)$

$v(t) = 1 - \cos(t)$

$x(t) = t - \sin(t)$

(2)

$2\pi$