M駅からの距離Xと地価Yのデータが与えられている。 (1) 散布図の作成、(2) 偏差平方和と偏差積和の計算、(3) 相関係数の計算、(4) 回帰分析によるパラメータ推定、(5) 回帰直線の図示、(6)-(9) 回帰モデルを用いた地価の推定、(10) 推定の妥当性の評価とより適切な回帰モデルの提案を行う。

1. 問題の内容

M駅からの距離Xと地価Yのデータが与えられている。

(1) 散布図の作成、(2) 偏差平方和と偏差積和の計算、(3) 相関係数の計算、(4) 回帰分析によるパラメータ推定、(5) 回帰直線の図示、(6)-(9) 回帰モデルを用いた地価の推定、(10) 推定の妥当性の評価とより適切な回帰モデルの提案を行う。

2. 解き方の手順

データ:

住宅地 | A | B | C | D | E | F | G | H |

------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

X [m] | 200 | 440 | 140 | 350 | 320 | 170 | 400 | 240 |

Y [万円/m^2] | 30 | 12 | 36 | 18 | 24 | 32 | 16 | 32 |

(1) 散布図:

X軸をM駅からの距離、Y軸を地価として、上記データ点をプロットする。 (省略)

(2) 偏差平方和と偏差積和:

まず、XとYの平均値を計算する。

$\bar{X} = (200 + 440 + 140 + 350 + 320 + 170 + 400 + 240) / 8 = 282.5$

$\bar{Y} = (30 + 12 + 36 + 18 + 24 + 32 + 16 + 32) / 8 = 25$

次に、偏差平方和 $S_x, S_y$ と偏差積和 $S_{xy}$ を計算する。

$S_x = \sum_{i=1}^{8} (X_i - \bar{X})^2$

$S_x = (200-282.5)^2 + (440-282.5)^2 + (140-282.5)^2 + (350-282.5)^2 + (320-282.5)^2 + (170-282.5)^2 + (400-282.5)^2 + (240-282.5)^2$

$S_x = 6806.25 + 24806.25 + 20306.25 + 4556.25 + 1406.25 + 12656.25 + 13806.25 + 1806.25 = 85150$

$S_y = \sum_{i=1}^{8} (Y_i - \bar{Y})^2$

$S_y = (30-25)^2 + (12-25)^2 + (36-25)^2 + (18-25)^2 + (24-25)^2 + (32-25)^2 + (16-25)^2 + (32-25)^2$

$S_y = 25 + 169 + 121 + 49 + 1 + 49 + 81 + 49 = 544$

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{8} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$

$S_{xy} = (200-282.5)(30-25) + (440-282.5)(12-25) + (140-282.5)(36-25) + (350-282.5)(18-25) + (320-282.5)(24-25) + (170-282.5)(32-25) + (400-282.5)(16-25) + (240-282.5)(32-25)$

$S_{xy} = -412.5 - 2047.5 - 1567.5 - 472.5 - 37.5 - 857.5 - 1057.5 - 297.5 = -6750$

(3) 相関係数:

$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x S_y}}$

$r_{xy} = \frac{-6750}{\sqrt{85150 \times 544}} = \frac{-6750}{\sqrt{46317600}} = \frac{-6750}{6805.703} = -0.9918$

(4) 回帰分析:

$y = a + bx$ の回帰直線を求める。

$b = \frac{S_{xy}}{S_x} = \frac{-6750}{85150} = -0.07927$

$a = \bar{Y} - b\bar{X} = 25 - (-0.07927) \times 282.5 = 25 + 22.394 = 47.394$

したがって、$y = 47.394 - 0.07927x$

(5) 回帰直線の図示：(省略) 散布図に上記の回帰直線を描画する。

(6) M駅からの距離が300mの住宅地Iの地価:

$x = 300$ のとき

$y = 47.394 - 0.07927 \times 300 = 47.394 - 23.781 = 23.613$

(7) M駅からの距離が500mの住宅地Jの地価:

$x = 500$ のとき

$y = 47.394 - 0.07927 \times 500 = 47.394 - 39.635 = 7.759$

(8) M駅からの距離が1000mの住宅地Kの地価:

$x = 1000$ のとき

$y = 47.394 - 0.07927 \times 1000 = 47.394 - 79.27 = -31.876$

(9) M駅からの距離が2000mの住宅地Lの地価:

$x = 2000$ のとき

$y = 47.394 - 0.07927 \times 2000 = 47.394 - 158.54 = -111.146$

(10) 推定の妥当性:

(6)と(7)は妥当な値と考えられる。しかし、(8)と(9)は地価が負の値になっており、妥当ではない。これは回帰モデルがデータの範囲外で適用されているためである。

特にM駅から遠い場所の地価を推定する場合、回帰モデルは単純な線形ではなく、より複雑なモデル（例えば、二次関数や指数関数など）を用いるべきである。また、データとして存在する距離範囲でモデルを構築し、その範囲外の予測は慎重に行うべきである。

3. 最終的な答え

(2) $S_x = 85150, S_y = 544, S_{xy} = -6750$

(3) $r_{xy} = -0.9918$

(4) $y = 47.394 - 0.07927x$

(6) 23.613万円/m^2

(7) 7.759万円/m^2

(8) -31.876万円/m^2

(9) -111.146万円/m^2

(10) (8)と(9)は妥当ではない。非線形モデルやデータ範囲内での推定を検討する。