ある工場で生産された製品Pの重さについて、無作為に選んだ100個の標本について重さを測定した結果が与えられている。このデータをもとに、標本平均$\overline{X}$と標本の分散$\sigma^2$を計算し、さらに標本平均$\overline{X}$が従う正規分布を求める。最後に、標準正規分布に従う変数$Z$を定義する。

1. 問題の内容

ある工場で生産された製品Pの重さについて、無作為に選んだ100個の標本について重さを測定した結果が与えられている。このデータをもとに、標本平均$\overline{X}$と標本の分散$\sigma^2$を計算し、さらに標本平均$\overline{X}$が従う正規分布を求める。最後に、標準正規分布に従う変数$Z$を定義する。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\overline{X}$は、各重さとその個数を掛け合わせたものの総和を、標本数で割ることで求められる。

$\overline{X} = \frac{45.0 \times 2 + 45.1 \times 21 + 45.2 \times 56 + 45.3 \times 18 + 45.4 \times 2 + 45.5 \times 1}{100}$

$\overline{X} = \frac{90 + 947.1 + 2531.2 + 815.4 + 90.8 + 45.5}{100} = \frac{4520}{100} = 45.20$

標本の分散$\sigma^2$は、各データ$(x_i)$について、$(x_i - \overline{X})^2$を計算し、各個数を掛けて総和をとり、それを標本数で割ることで求められる。

$\sigma^2 = \frac{2(45.0 - 45.2)^2 + 21(45.1 - 45.2)^2 + 56(45.2 - 45.2)^2 + 18(45.3 - 45.2)^2 + 2(45.4 - 45.2)^2 + 1(45.5 - 45.2)^2}{100}$

$\sigma^2 = \frac{2(0.04) + 21(0.01) + 56(0) + 18(0.01) + 2(0.04) + 1(0.09)}{100}$

$\sigma^2 = \frac{0.08 + 0.21 + 0 + 0.18 + 0.08 + 0.09}{100} = \frac{0.64}{100} = 0.0064$

(2) 母集団の平均が$m$、分散が$\sigma^2$であるとき、標本平均$\overline{X}$は近似的に正規分布$N(m, \frac{\sigma^2}{n})$に従う。ここで、$n=100$であるから、$\overline{X}$は$N(m, \frac{\sigma^2}{100})$に従う。

$\sigma^2 = 0.0064$なので、$\frac{\sigma^2}{100} = \frac{0.0064}{100} = 0.000064$

$\overline{X} \sim N(m, 0.000064)$

$Z = \frac{\overline{X} - m}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\overline{X} - m}{\sqrt{0.000064}} = \frac{\overline{X} - m}{0.008}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{X} = 45.20$

$\sigma^2 = 0.0064$

(2) $\overline{X} \sim N(m, 0.000064)$

$Z = \frac{\overline{X} - m}{0.008}$