6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から相異なる3個を用いて3桁の自然数を作る。 (1) 3桁の自然数は何通りできるか。 (2) 3桁の自然数のうち、その自然数が2の倍数になるものは何通りあるか。 (3) 3桁の自然数のうち、その自然数が3の倍数になるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から相異なる3個を用いて3桁の自然数を作る。

(1) 3桁の自然数は何通りできるか。

(2) 3桁の自然数のうち、その自然数が2の倍数になるものは何通りあるか。

(3) 3桁の自然数のうち、その自然数が3の倍数になるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の個数

百の位は0以外の5通り。十の位は百の位で使った数字以外の5通り。一の位は百の位と十の位で使った数字以外の4通り。よって、

$5 \times 5 \times 4 = 100$ 通り。

(2) 3桁の自然数で2の倍数の個数

一の位が偶数（0, 2, 4）の場合を考える。

(i) 一の位が0のとき：百の位は0以外の5通り、十の位は残りの4通り。よって $5 \times 4 = 20$ 通り。

(ii) 一の位が2または4のとき：一の位の選び方は2通り。

百の位は0と一の位の数字以外の4通り。十の位は残りの4通り。よって $2 \times 4 \times 4 = 32$ 通り。

したがって、2の倍数は $20 + 32 = 52$ 通り。

(3) 3桁の自然数で3の倍数の個数

3の倍数となるためには、3つの数字の和が3の倍数になる必要がある。

使用できる数字の組み合わせは以下の通り。

(0, 1, 2): 3! - 2! = 6 - 2 = 4

(0, 1, 5): 3! - 2! = 6 - 2 = 4

(0, 2, 4): 3! - 2! = 6 - 2 = 4

(0, 3, 3) : Not Possible

(0, 4, 5) : 3! - 2! = 6 - 2 = 4

(1, 2, 3): 3! = 6

(1, 3, 5): 3! = 6

(2, 3, 4): 3! = 6

(3, 4, 5): 3! = 6

(1, 4, 4) : Not Possible

(2, 5, 5) : Not Possible

よって合計は $4 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + 6 = 40$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 40通り