ベクトル場 $\mathbf{F} = x^2 y \mathbf{j} + 2z \mathbf{k}$ と $\mathbf{G} = x^2 \mathbf{i} + yz^2 \mathbf{k}$ が与えられたとき、$\text{div}(\mathbf{F} + \mathbf{G})$ を計算する。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{F} = x^2 y \mathbf{j} + 2z \mathbf{k}$ と $\mathbf{G} = x^2 \mathbf{i} + yz^2 \mathbf{k}$ が与えられたとき、$\text{div}(\mathbf{F} + \mathbf{G})$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbf{F} + \mathbf{G}$ を計算する。

$\mathbf{F} + \mathbf{G} = (x^2 \mathbf{i} + x^2 y \mathbf{j} + 2z \mathbf{k}) + (x^2 \mathbf{i} + yz^2 \mathbf{k}) = x^2 \mathbf{i} + x^2 y \mathbf{j} + (2z + yz^2) \mathbf{k}$.

次に、$\text{div}(\mathbf{F} + \mathbf{G})$ を計算する。ベクトル場 $\mathbf{A} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$ の発散は、

$\text{div} \mathbf{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ で与えられます。

したがって、

$\text{div}(\mathbf{F} + \mathbf{G}) = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (x^2 y)}{\partial y} + \frac{\partial (2z + yz^2)}{\partial z}$.

それぞれの偏微分を計算すると、

$\frac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial (x^2 y)}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial (2z + yz^2)}{\partial z} = 2 + 2yz$

したがって、

$\text{div}(\mathbf{F} + \mathbf{G}) = 2x + x^2 + 2 + 2yz$.

3. 最終的な答え

$\text{div}(\mathbf{F} + \mathbf{G}) = x^2 + 2x + 2yz + 2$