与えられたベクトル場 $A$ に対して、$\text{div}(\text{rot} A) = 0$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられたベクトル場 $A$ に対して、$\text{div}(\text{rot} A) = 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル場 $A = (A_x, A_y, A_z)$ の回転（ローテーション）$\text{rot} A$ を計算します。回転は次のように定義されます。

$\text{rot} A = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$

次に、$\text{rot} A$ の発散（ダイバージェンス）$\text{div}(\text{rot} A)$ を計算します。発散は次のように定義されます。

$\text{div} V = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}$

ここで、$V = \text{rot} A$ とおくと、

$\text{div}(\text{rot} A) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$

偏微分の順序を交換すると（$A$ が十分に滑らかな場合）、

$\text{div}(\text{rot} A) = \frac{\partial^2 A_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z \partial y}$

これは、

$\text{div}(\text{rot} A) = \left( \frac{\partial^2 A_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y \partial x} \right) + \left( - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z \partial x} \right) + \left( \frac{\partial^2 A_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z \partial y} \right)$

となります。括弧の中の各項は、偏微分の順序を交換したものであるため、互いに打ち消し合い、

$\text{div}(\text{rot} A) = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$\text{div}(\text{rot} A) = 0$