古典力学における運動方程式の応用として、受験生が問題を解く速度 $P(t)$ をモデル化する。 (a) 時間発展をモデル化する一次線形微分方程式を設定する。 (b) 初期速度 $P_0$ と直線抵抗 $t = \gamma'$ の条件下で $P(t)$ を求める。 (c) $P(t)$ を求める（おそらく(b)とは別の条件）。 (d) $P(t)$ と $P'(t)$ のグラフを描く。 (e) $t=0$ における $P(t)$ と $P'(t)$ の近似式を求め、グラフにそれらの時間依存性を含める。 (f) 前問の結果に基づいて $\gamma'$ を説明し、$P(t)$ に期待される典型的な振る舞いについて論じる。 (g) 試験終了時に戻ってきて、(d)で描いたグラフに個人的なリアリスティックな曲線を追加し、モデルの適切性を議論する。

1. 問題の内容

古典力学における運動方程式の応用として、受験生が問題を解く速度 $P(t)$ をモデル化する。

(a) 時間発展をモデル化する一次線形微分方程式を設定する。

(b) 初期速度 $P_0$ と直線抵抗 $t = \gamma'$ の条件下で $P(t)$ を求める。

(c) $P(t)$ を求める（おそらく(b)とは別の条件）。

(d) $P(t)$ と $P'(t)$ のグラフを描く。

(e) $t=0$ における $P(t)$ と $P'(t)$ の近似式を求め、グラフにそれらの時間依存性を含める。

(f) 前問の結果に基づいて $\gamma'$ を説明し、$P(t)$ に期待される典型的な振る舞いについて論じる。

(g) 試験終了時に戻ってきて、(d)で描いたグラフに個人的なリアリスティックな曲線を追加し、モデルの適切性を議論する。

2. 解き方の手順

(a) 一次線形微分方程式の設定

問題文より、困難さは $- \gamma P(t)$ で表される。したがって、$P(t)$ の時間発展は以下の微分方程式で表せる。

$\frac{dP}{dt} = \gamma (P_{max} - P)$

ここで $P_{max}$ は最大値（100%）であり、$\gamma$ は比例定数である。

(b) $P(t)$ の導出 (初期速度 $P_0$, 直線抵抗 $t = \gamma'$)

問題文の $t = \gamma'$ はおそらく $t = \gamma$ の誤りである。

微分方程式 $\frac{dP}{dt} = \gamma (P_{max} - P)$ を解く。変数分離を行うと、

$\frac{dP}{P_{max} - P} = \gamma dt$

両辺を積分すると、

$-\ln |P_{max} - P| = \gamma t + C$

$P_{max} - P = Ae^{-\gamma t}$ (ただし $A = e^{-C}$ )

$t = 0$ で $P = P_0$ なので、

$P_{max} - P_0 = A$

したがって、

$P(t) = P_{max} - (P_{max} - P_0)e^{-\gamma t}$

(c) $P(t)$ の導出 (条件不明)

問題文の条件が不足しているため、解けません。

(d) グラフの描画

$P(t)$ のグラフは、$t$ が増加するにつれて $P_{max}$ に漸近する指数関数的な増加を示す。$P'(t)$ のグラフは、$t$ が増加するにつれて0に漸近する指数関数的な減少を示す。

(e) $t=0$ における近似式

$P(t) = P_{max} - (P_{max} - P_0)e^{-\gamma t}$

$e^{-\gamma t} \approx 1 - \gamma t$ ($t \approx 0$の時)

$P(t) \approx P_{max} - (P_{max} - P_0)(1 - \gamma t) = P_0 + (P_{max} - P_0)\gamma t$

$P'(t) = (P_{max} - P_0)\gamma e^{-\gamma t}$

$P'(t) \approx (P_{max} - P_0)\gamma$ ($t \approx 0$の時)

(f) $\gamma$ の説明と典型的な振る舞い

$\gamma$ は、困難さに直面した場合に速度が低下する割合に関連するパラメータである。$\gamma$ が大きいほど、困難さに直面した際の速度の低下が大きくなる。$P(t)$ は、時間の経過とともに $P_{max}$ に漸近的に近づく。

(g) モデルの議論

試験終了時に、(d)で描いたグラフに、試験中の集中力の変化や疲労などの個人的な要素を考慮したリアリスティックな曲線を追加し、モデルの適切性を議論する。

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dP}{dt} = \gamma (P_{max} - P)$

(b) $P(t) = P_{max} - (P_{max} - P_0)e^{-\gamma t}$

(c) 条件不足のため解答不能。

(d) グラフは上記参照。

(e) $P(t) \approx P_0 + (P_{max} - P_0)\gamma t$、$P'(t) \approx (P_{max} - P_0)\gamma$

(f) $\gamma$ は困難さに直面した場合の速度低下の割合。$P(t)$ は時間の経過とともに $P_{max}$ に漸近的に近づく。

(g) 個人的な経験に基づいて議論。