質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動している。$x$ 軸に垂直な方向（つまり $y$ 軸方向）の速度成分が一定であるとき、$x$ 軸方向の速度と加速度を求めよ。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動している。$x$ 軸に垂直な方向（つまり $y$ 軸方向）の速度成分が一定であるとき、$x$ 軸方向の速度と加速度を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、y軸方向の速度を定数 $v_y$ とおく。

$v_y = \frac{dy}{dt}$ であるから、$\frac{dy}{dt} = v_y$ が成り立つ。

$y = ax^2$ を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 2ax \frac{dx}{dt}$

これより、$2ax \frac{dx}{dt} = v_y$ となる。

したがって、$x$軸方向の速度 $v_x = \frac{dx}{dt}$ は、

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{v_y}{2ax}$

次に、$x$軸方向の加速度 $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ を求める。

$v_x = \frac{v_y}{2ax}$ を時間 $t$ で微分すると、

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{v_y}{2ax} \right) = \frac{v_y}{2a} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{v_y}{2a} \left( -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dt} \right)$

ここで、$\frac{dx}{dt} = v_x = \frac{v_y}{2ax}$ を代入すると、

$a_x = \frac{v_y}{2a} \left( -\frac{1}{x^2} \frac{v_y}{2ax} \right) = -\frac{v_y^2}{4a^2 x^3}$

3. 最終的な答え

x軸方向の速度は、

$v_x = \frac{v_y}{2ax}$

x軸方向の加速度は、

$a_x = -\frac{v_y^2}{4a^2 x^3}$