$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{13}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、$\vec{a} - 2\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{13}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、$\vec{a} - 2\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a} - 2\vec{b}$ と $\vec{a}$ の内積を計算します。

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

問題文より $|\vec{a}| = 2$ なので、$|\vec{a}|^2 = 4$ 。また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ なので、

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a} = 4 - 2(5) = 4 - 10 = -6$

次に、ベクトルのなす角の公式を使って$\cos \theta$を求めます。

$\cos \theta = \frac{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} - 2\vec{b}| |\vec{a}|}$

$|\vec{a}|$ は既知なので、$|\vec{a} - 2\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

$= 2^2 - 4(5) + 4(\sqrt{13})^2 = 4 - 20 + 4(13) = 4 - 20 + 52 = 36$

したがって、$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$

$\cos \theta = \frac{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} - 2\vec{b}| |\vec{a}|} = \frac{-6}{6 \cdot 2} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$