与えられた画像から、以下の問題を解きます。 問題1: 標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$Z$について、以下の値を求めます。 (1) $P(Z \ge a) = 0.05$を満たす$a$の値 (2) $P(Z \ge b) = 0.01$を満たす$b$の値 問題2: 正規母集団$N(\mu, \sigma^2)$からの大きさ$n=25$の標本によって、帰無仮説$H_0: \mu = 5$、対立仮説$H_1: \mu = 6$ を検定します。標本平均$\bar{X}$の分布の右すその部分を棄却域に使うものとします。 (1) $H_0$が真のときの$\bar{X}$の分布 (2) $H_1$が真のときの$\bar{X}$の分布 (3) $H_0$が真のときの$\bar{X}$の分布において、$P(\bar{X} \ge x) = 0.05$ (第1種の誤りの確率)を満たす$x$の値を求め、 $H_1$が真のときの$\bar{X}$の分布において、第2種の誤りの確率$P(\bar{X} \le x)$を求めます。 (4) 第1種の誤りの確率$\alpha = 0.01$ に対する第2種の誤りの確率$\beta$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた画像から、以下の問題を解きます。

問題1: 標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$Z$について、以下の値を求めます。

(1) $P(Z \ge a) = 0.05$を満たす$a$の値

(2) $P(Z \ge b) = 0.01$を満たす$b$の値

問題2: 正規母集団$N(\mu, \sigma^2)$からの大きさ$n=25$の標本によって、帰無仮説$H_0: \mu = 5$、対立仮説$H_1: \mu = 6$ を検定します。標本平均$\bar{X}$の分布の右すその部分を棄却域に使うものとします。

(1) $H_0$が真のときの$\bar{X}$の分布

(2) $H_1$が真のときの$\bar{X}$の分布

(3) $H_0$が真のときの$\bar{X}$の分布において、$P(\bar{X} \ge x) = 0.05$ (第1種の誤りの確率)を満たす$x$の値を求め、 $H_1$が真のときの$\bar{X}$の分布において、第2種の誤りの確率$P(\bar{X} \le x)$を求めます。

(4) 第1種の誤りの確率$\alpha = 0.01$ に対する第2種の誤りの確率$\beta$を求めます。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $P(Z \ge a) = 0.05$を満たす$a$の値は、標準正規分布表から$a = 1.645$です。

(2) $P(Z \ge b) = 0.01$を満たす$b$の値は、標準正規分布表から$b = 2.33$です。

問題2:

母集団が$N(\mu, \sigma^2)$に従い、標本サイズが$n$のとき、標本平均$\bar{X}$は$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に従います。問題文中に$\sigma^2$の値が明記されていませんが画像から$\sigma = 2$だと読み取れます。

(1) $H_0$が真のとき、$\mu = 5$なので、$\bar{X} \sim N(5, \frac{2^2}{25}) = N(5, \frac{4}{25}) = N(5, 0.16)$です。

(2) $H_1$が真のとき、$\mu = 6$なので、$\bar{X} \sim N(6, \frac{2^2}{25}) = N(6, \frac{4}{25}) = N(6, 0.16)$です。

(3) $H_0$が真のとき、$\bar{X} \sim N(5, 0.16)$です。$P(\bar{X} \ge x) = 0.05$を満たす$x$を求めます。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 5}{\sqrt{0.16}} = \frac{\bar{X} - 5}{0.4}$

$P(\bar{X} \ge x) = P(Z \ge \frac{x-5}{0.4}) = 0.05$

$\frac{x-5}{0.4} = 1.645$ より、 $x - 5 = 1.645 \times 0.4 = 0.658$

よって、$x = 5 + 0.658 = 5.658$

$H_1$が真のとき、$\bar{X} \sim N(6, 0.16)$です。第2種の誤りの確率は$P(\bar{X} \le x) = P(\bar{X} \le 5.658)$です。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 6}{\sqrt{0.16}} = \frac{\bar{X} - 6}{0.4}$

$P(\bar{X} \le 5.658) = P(Z \le \frac{5.658 - 6}{0.4}) = P(Z \le \frac{-0.342}{0.4}) = P(Z \le -0.855)$

標準正規分布表から、$P(Z \le -0.855) = 1 - P(Z \le 0.855) \approx 1 - 0.8039 = 0.1961$

(4) 第1種の誤りの確率が$\alpha = 0.01$のとき、棄却域の閾値$x'$を求めます。

$P(\bar{X} \ge x') = 0.01$

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 5}{0.4}$

$P(\bar{X} \ge x') = P(Z \ge \frac{x'-5}{0.4}) = 0.01$

$\frac{x'-5}{0.4} = 2.33$より、$x' = 5 + 2.33 \times 0.4 = 5 + 0.932 = 5.932$

$H_1$が真のとき、$\bar{X} \sim N(6, 0.16)$です。第2種の誤りの確率は$P(\bar{X} \le x') = P(\bar{X} \le 5.932)$です。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 6}{0.4}$

$P(\bar{X} \le 5.932) = P(Z \le \frac{5.932 - 6}{0.4}) = P(Z \le \frac{-0.068}{0.4}) = P(Z \le -0.17)$

標準正規分布表から、$P(Z \le -0.17) = 1 - P(Z \le 0.17) = 1 - 0.5675 = 0.4325$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $a = 1.645$

(2) $b = 2.33$

問題2:

(1) $\bar{X} \sim N(5, 0.16)$

(2) $\bar{X} \sim N(6, 0.16)$

(3) $x = 5.658$, $P(\bar{X} \le x) \approx 0.1961$

(4) $\beta \approx 0.4325$