問題は、二つの式を簡略化することです。 (1) $\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = (1)^{n}$ (2) $\sum_{k=0}^{n} (-2)^k {}_nC_k = {}_nC_0 - 2{}_nC_1 + 2^2{}_nC_2 - \dots + (-2)^n {}_nC_n = (2|3)^n$

1. 問題の内容

問題は、二つの式を簡略化することです。

(1) $\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = (1)^{n}$

(2) $\sum_{k=0}^{n} (-2)^k {}_nC_k = {}_nC_0 - 2{}_nC_1 + 2^2{}_nC_2 - \dots + (-2)^n {}_nC_n = (2|3)^n$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を使用します。二項定理は、$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^{n-k} y^k$と表されます。

この式で、$x=1$、$y=1$とすると、

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$

したがって、$\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k = 2^n$となります。

よって、$1$ は $2$ です。

(2) 二項定理を再度使用します。

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^{n-k} y^k$

この式で、$x=1$、$y=-2$とすると、

$(1+(-2))^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k 1^{n-k} (-2)^k = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k (-2)^k = {}_nC_0 - 2{}_nC_1 + 2^2{}_nC_2 - \dots + (-2)^n {}_nC_n$

したがって、$\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k (-2)^k = (1-2)^n = (-1)^n$となります。

よって、$2$ は $-1$です。

また、$(2|3)^n$は $(-1)^n$を意味するので、$2$ には $-1$ が入り、$3$ には $1$ が入ります。

3. 最終的な答え

(1) $2^n$

(2) $(-1)^n$

したがって、答えは以下のようになります。

(1) ${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$

(2) ${}_nC_0 - 2{}_nC_1 + 2^2{}_nC_2 - \dots + (-2)^n {}_nC_n = (-1)^n$

2 は -1 で、3 は 1 です。