与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{2(2^{n-1} - 1) + (2^{n-1} - 1) \cdot 2\}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{2(2^{n-1} - 1) + (2^{n-1} - 1) \cdot 2\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、中括弧の中を整理します。

$2(2^{n-1} - 1) + (2^{n-1} - 1) \cdot 2 = 2 \cdot 2^{n-1} - 2 + 2 \cdot 2^{n-1} - 2 = 4 \cdot 2^{n-1} - 4 = 4(2^{n-1} - 1)$

次に、全体の式に代入します。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{4(2^{n-1} - 1)\} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot 4(2^{n-1} - 1) = 2 \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} - 1) = 2^n (2^{n-1} - 1) = 2^n \cdot 2^{n-1} - 2^n = 2^{2n-1} - 2^n$

3. 最終的な答え

$2^{2n-1} - 2^n$