複素数 $z_n = \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i\right)^n$ (n = 1, 2, 3, ...) について、以下の問いに答えます。 (1) $|z_1|$ を求めます。 (2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めます。 (3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表します。

はい、承知いたしました。問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

複素数 $z_n = \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i\right)^n$ (n = 1, 2, 3, ...) について、以下の問いに答えます。

(1) $|z_1|$ を求めます。

(2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めます。

(3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表します。

2. 解き方の手順

まず、$z = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i$ とおきます。

(1) $|z_1| = |z|$ ですから、$z$ の絶対値を計算します。

$|z| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^2}$

$= \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2}}$

$= \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

したがって、$|z_1| = 2$ です。

(2) $|z_2| = |z^2| = |z|^2 = 2^2 = 4$

次に、$z$ の偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\theta = \arctan \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) = \arctan \left(\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}\right) = \arctan \left(\frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2}\right) = \arctan \left(\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan (2+\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{12}$

したがって、$\arg z_2 = \arg (z^2) = 2 \arg z = 2 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$

(3) $z_n = z^n = \left(2\left(\cos \frac{5\pi}{12} + i\sin \frac{5\pi}{12}\right)\right)^n = 2^n\left(\cos \frac{5n\pi}{12} + i\sin \frac{5n\pi}{12}\right)$

$z_n$ の実部 $x_n$ は、$x_n = 2^n \cos \frac{5n\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $|z_1| = 2$

(2) $|z_2| = 4$, $\arg z_2 = \frac{5}{6}\pi$

(3) $x_n = 2^n \cos \frac{5n}{12}\pi$