$X_1, X_2, ..., X_n$ は平均 $\mu$, 分散 $\sigma^2$ を持つ母集団からの無作為標本である。標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, 不偏分散を $U^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ とするとき、$\mu^2$ の不偏推定量として最も適切なものを選ぶ問題。

1. 問題の内容

$X_1, X_2, ..., X_n$ は平均 $\mu$, 分散 $\sigma^2$ を持つ母集団からの無作為標本である。標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, 不偏分散を $U^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ とするとき、$\mu^2$ の不偏推定量として最も適切なものを選ぶ問題。

2. 解き方の手順

$\bar{X}$ は $\mu$ の推定量である。しかし、$E[\bar{X}^2] \neq \mu^2$ である。なぜなら、

$$E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = Var(\bar{X}) + \mu^2$$

なので、

$$\mu^2 = E[\bar{X}^2] - Var(\bar{X})$$

ここで、$Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ である。

$U^2$ は $\sigma^2$ の不偏推定量なので、$E[U^2] = \sigma^2$。したがって、$E[\frac{U^2}{n}] = \frac{\sigma^2}{n} = Var(\bar{X})$ である。

よって、

$$E[\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n}] = E[\bar{X}^2] - E[\frac{U^2}{n}] = E[\bar{X}^2] - \frac{\sigma^2}{n} = \mu^2$$

したがって、$\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n}$ が $\mu^2$ の不偏推定量となる。

また、$\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n} = (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i)^2 - \frac{1}{n} \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

3. 最終的な答え

$\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n}$

あるいは

$(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i)^2 - \frac{1}{n} \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$