標本サイズ $n=100$、標本平均 $\bar{x}=56.3$、標本標準偏差 $s=10.2$ が与えられているとき、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を小数点以下第1位まで求める。

1. 問題の内容

標本サイズ $n=100$、標本平均 $\bar{x}=56.3$、標本標準偏差 $s=10.2$ が与えられているとき、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を小数点以下第1位まで求める。

2. 解き方の手順

母平均 $\mu$ の信頼区間は、標本サイズが十分に大きい場合（この問題では $n=100$ であり、十分に大きい）には、次のように計算できる。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$s$ は標本標準偏差、$n$ は標本サイズ、$z_{\alpha/2}$ は信頼度 $(1-\alpha)$ に対応する標準正規分布のパーセント点である。

95%信頼区間の場合、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ なので、$\alpha/2 = 0.025$。

$z_{0.025} \approx 1.96$ （標準正規分布表から読み取るか、計算ソフトを用いる）。

信頼区間の下限は、

$56.3 - 1.96 \times \frac{10.2}{\sqrt{100}} = 56.3 - 1.96 \times \frac{10.2}{10} = 56.3 - 1.96 \times 1.02 = 56.3 - 2.00 \approx 54.308 \approx 54.3$

信頼区間の上限は、

$56.3 + 1.96 \times \frac{10.2}{\sqrt{100}} = 56.3 + 1.96 \times \frac{10.2}{10} = 56.3 + 1.96 \times 1.02 = 56.3 + 1.9992 \approx 56.3 + 2.00 = 58.2992 \approx 58.3$

3. 最終的な答え

(54.3, 58.3)