数千枚の答案を採点した。信頼度95%で、誤差2点以内で平均点を推定したい。従来の経験から点数の標準偏差は15点としてよい。少なくとも何枚以上の答案を抜き出して調べればよいか。

1. 問題の内容

数千枚の答案を採点した。信頼度95%で、誤差2点以内で平均点を推定したい。従来の経験から点数の標準偏差は15点としてよい。少なくとも何枚以上の答案を抜き出して調べればよいか。

2. 解き方の手順

母集団の標準偏差 $\sigma$ が既知の場合、標本平均の信頼区間は次のように表されます。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$は標本平均

$z_{\alpha/2}$は信頼係数

$\sigma$は母集団の標準偏差

$n$は標本サイズ

信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2}$は1.96です。

誤差（許容誤差）は、$E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表されます。

問題では、誤差を2点以内にしたいので、$E = 2$ です。

標準偏差は $\sigma = 15$ です。

求めるのは標本サイズ $n$ なので、上記の式を $n$ について解きます。

$E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$2 = 1.96 \frac{15}{\sqrt{n}}$

$\sqrt{n} = \frac{1.96 \times 15}{2}$

$\sqrt{n} = 14.7$

$n = (14.7)^2$

$n = 216.09$

標本サイズは整数でなければならないので、切り上げて $n = 217$ とします。

3. 最終的な答え

少なくとも217枚以上の答案を抜き出して調べればよい。