ある工場で生産された製品から800個を無作為抽出し、そのうち32個が不良品であった。この工場の製品全体の不良品の率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を $[A, B]$ とするとき、$B$ の値を小数点以下第3位まで求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

ある工場で生産された製品から800個を無作為抽出し、そのうち32個が不良品であった。この工場の製品全体の不良品の率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を $[A, B]$ とするとき、$B$ の値を小数点以下第3位まで求めよ。

2. 解き方の手順

標本不良率 $\hat{p}$ は、$\hat{p} = \frac{32}{800} = 0.04$ となる。

信頼度95%の信頼区間は、

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

で与えられる。ここで、$n = 800$ は標本サイズ、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点である。信頼度95%なので、$\alpha = 0.05$、$\alpha/2 = 0.025$ となり、$z_{0.025} \approx 1.96$ である。

したがって、信頼区間の上限 $B$ は、

$B = 0.04 + 1.96 \sqrt{\frac{0.04(1-0.04)}{800}} = 0.04 + 1.96 \sqrt{\frac{0.04(0.96)}{800}} = 0.04 + 1.96 \sqrt{\frac{0.0384}{800}} = 0.04 + 1.96 \sqrt{0.000048} = 0.04 + 1.96 \times 0.006928 = 0.04 + 0.01357888 \approx 0.05357888$

小数点以下第3位まで求めると、0.054となる。

3. 最終的な答え

0. 054

## 問題2

1. 問題の内容

ある工場で生産される製品の不良率を信頼度95%で推定したい。この不良率はほぼ5%であると予想できる。信頼区間の幅を0.02以下にするには標本の大きさをいくらにすればよいか。

2. 解き方の手順

信頼区間の幅は $2 \times z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ で与えられる。ここで、$p$ は不良率の推定値（0.05）、$n$ は標本サイズ、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点である。信頼度95%なので、$z_{\alpha/2} \approx 1.96$ である。

信頼区間の幅を0.02以下にするには、

$2 \times 1.96 \sqrt{\frac{0.05(1-0.05)}{n}} \le 0.02$

$1.96 \sqrt{\frac{0.05(0.95)}{n}} \le 0.01$

$\sqrt{\frac{0.0475}{n}} \le \frac{0.01}{1.96}$

$\frac{0.0475}{n} \le (\frac{0.01}{1.96})^2$

$n \ge \frac{0.0475}{(\frac{0.01}{1.96})^2} = 0.0475 \times (\frac{1.96}{0.01})^2 = 0.0475 \times (196)^2 = 0.0475 \times 38416 = 1824.76$

標本サイズは整数なので、1825以上にする必要がある。

3. 最終的な答え

1825