次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = 3a_n - 4$ (2) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 4a_n + 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = 3a_n - 4$

(2) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 4a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n - 4$ の場合

特性方程式 $x = 3x - 4$ を解くと $2x = 4$ より $x = 2$。

よって、漸化式は $a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ と変形できる。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比3の等比数列。

初項は $b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$。

よって、$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$。

$a_n = b_n + 2$ より、$a_n = 3^n + 2$。

(2) $a_{n+1} = 4a_n + 1$ の場合

特性方程式 $x = 4x + 1$ を解くと $-3x = 1$ より $x = -\frac{1}{3}$。

よって、漸化式は $a_{n+1} + \frac{1}{3} = 4(a_n + \frac{1}{3})$ と変形できる。

$b_n = a_n + \frac{1}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = 4b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比4の等比数列。

初項は $b_1 = a_1 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$。

よって、$b_n = \frac{4}{3} \cdot 4^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 4^n$。

$a_n = b_n - \frac{1}{3}$ より、$a_n = \frac{1}{3} \cdot 4^n - \frac{1}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^n + 2$

(2) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$