ある市の住民1500人を調査したところ、186人が海外旅行に行ったことがあることが分かった。この市の住民のうち海外旅行に行ったことがある人の割合を$p$とするとき、$p$の95%信頼区間を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

ある市の住民1500人を調査したところ、186人が海外旅行に行ったことがあることが分かった。この市の住民のうち海外旅行に行ったことがある人の割合を$p$とするとき、$p$の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

割合の信頼区間は以下の式で求められる。

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、

* $\hat{p}$ は標本における割合の推定値。

* $n$ は標本サイズ。

* $z_{\alpha/2}$ は信頼水準に対応するz値。95%信頼区間の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$。

まず、$\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{186}{1500} = 0.124$

次に、信頼区間の幅を計算する。

$1.96 \sqrt{\frac{0.124(1-0.124)}{1500}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.124 \times 0.876}{1500}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.108624}{1500}} = 1.96 \times 0.00851 = 0.01668 \approx 0.017$

したがって、95%信頼区間は

$0.124 - 0.017 \leq p \leq 0.124 + 0.017$

$0.107 \leq p \leq 0.141$

3. 最終的な答え

$0.107 \leq p \leq 0.141$

## 問題2

1. 問題の内容

あるブラウン管の寿命の標準偏差は100時間である。推定平均寿命の誤差が±20時間以内になると、95%の信頼度で言えるためには標本の大きさは少なくともいくらにすればよいか。

2. 解き方の手順

標本サイズを求めるには、以下の公式を使用する。

$n = (\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E})^2$

ここで、

* $n$ は必要な標本サイズ

* $z_{\alpha/2}$ は信頼水準に対応するz値。95%信頼度の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$

* $\sigma$ は母集団の標準偏差。問題文より$\sigma = 100$

* $E$ は許容誤差。問題文より$E = 20$

これらの値を公式に代入する。

$n = (\frac{1.96 \cdot 100}{20})^2 = (\frac{196}{20})^2 = (9.8)^2 = 96.04$

標本サイズは整数でなければならないため、切り上げる。

3. 最終的な答え

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