図のようなマノメータにおいて、A点とB点の圧力の差 $p_A - p_B$ を、与えられた文字式で表し、具体的な数値を代入してその値を求める。タンク内は油（密度 $\rho_{oil}$）、マノメータ内は水銀（密度 $\rho_{Hg}$）で満たされている。与えられた値は $H = 140 \text{ mm}$, $h = 85 \text{ cm}$, $\rho_{oil} = 935 \text{ kg/m}^3$, $\rho_{Hg} = 13600 \text{ kg/m}^3$, $g = 9.80 \text{ m/s}^2$ である。

1. 問題の内容

図のようなマノメータにおいて、A点とB点の圧力の差 $p_A - p_B$ を、与えられた文字式で表し、具体的な数値を代入してその値を求める。タンク内は油（密度 $\rho_{oil}$）、マノメータ内は水銀（密度 $\rho_{Hg}$）で満たされている。与えられた値は $H = 140 \text{ mm}$, $h = 85 \text{ cm}$, $\rho_{oil} = 935 \text{ kg/m}^3$, $\rho_{Hg} = 13600 \text{ kg/m}^3$, $g = 9.80 \text{ m/s}^2$ である。

2. 解き方の手順

C点の圧力 $p_C$ とD点の圧力 $p_D$ について考える。

C点の圧力 $p_C$ は、$p_A$ に油の圧力 $h\rho_{oil}g$ と水銀の圧力 $H\rho_{Hg}g$ が加わったものなので、

$p_C = p_A + h \rho_{oil} g + H \rho_{Hg} g$

D点の圧力 $p_D$ は、$p_B$ に油の圧力 $h\rho_{oil}g$ が加わったものなので、

$p_D = p_B + h \rho_{oil} g$

C点とD点は同じ高さなので、$p_C = p_D$ である。したがって、

$p_A + h \rho_{oil} g + H \rho_{Hg} g = p_B + h \rho_{oil} g$

$p_A + H \rho_{Hg} g = p_B$

$p_A - p_B = -H \rho_{Hg} g$

ここで、$H = 140 \text{ mm} = 0.14 \text{ m}$, $h = 85 \text{ cm} = 0.85 \text{ m}$ を代入する。

$p_A - p_B = -(0.14 \text{ m}) \times (13600 \text{ kg/m}^3) \times (9.80 \text{ m/s}^2) = -18683.2 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

$p_A - p_B = -H \rho_{Hg} g$

$p_A - p_B = -18683.2 \text{ Pa}$