DEFENSEの7文字から4文字を取り出すとき、次の各場合の組合せと順列の数を求めます。 (1) Eを3個含む場合 (2) Eを2個だけ含む場合 (3) 4文字とも異なる場合 (4) すべての場合

1. 問題の内容

DEFENSEの7文字から4文字を取り出すとき、次の各場合の組合せと順列の数を求めます。

(1) Eを3個含む場合

(2) Eを2個だけ含む場合

(3) 4文字とも異なる場合

(4) すべての場合

2. 解き方の手順

(1) Eを3個含む場合

Eが3個なので、残りの1文字はD, F, N, Sのいずれかになります。

残りの1文字の選び方は4通りです。

4文字の並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いて、$\frac{4!}{3!} = 4$通りです。

よって、$4 \times 4 = 16$通りです。

(2) Eを2個だけ含む場合

Eが2個なので、残りの2文字はD, F, N, Sの中から2つを選びます。

残りの2文字の選び方は、${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

4文字の並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いて、$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$通りです。

よって、$6 \times 12 = 72$通りです。

(3) 4文字とも異なる場合

D, E, F, N, Sの5文字から4文字を選ぶので、${}_5C_4 = 5$通りです。

4文字の並べ方は、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

よって、$5 \times 24 = 120$通りです。

(4) すべての場合

DEFENSEの文字は、D, E, E, E, F, N, Sの7文字です。

4文字を選ぶ組み合わせを考えます。

- Eを3個含む場合：(1)で計算済み。16通り。

- Eを2個含む場合：(2)で計算済み。72通り。

- Eを1個含む場合：残りの3文字はD, F, N, Sから選びます。${}_4C_3 = 4$通り。

4文字の並べ方は、$\frac{4!}{1!} = 24$通り。よって、$4 \times 24 = 96$通り。

- Eを0個含む場合：4文字はD, F, N, Sから選びます。${}_4C_4 = 1$通り。

4文字の並べ方は、$4! = 24$通り。よって、$1 \times 24 = 24$通り。

したがって、すべての場合は、$16 + 72 + 96 + 24 = 208$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 16通り

(2) 72通り

(3) 120通り

(4) 208通り