袋の中に赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 3個とも赤玉である確率 (2) 3個とも色が異なる確率 (3) 3個の玉の色が2種類である確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3個とも赤玉である確率

(2) 3個とも色が異なる確率

(3) 3個の玉の色が2種類である確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す場合の総数を計算する。袋の中には合計で $5 + 4 + 3 = 12$ 個の玉が入っているので、3個の玉を取り出す場合の総数は $_{12}C_3$ 通りである。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

(1) 3個とも赤玉である確率

3個とも赤玉である取り出し方は $_{5}C_3$ 通りである。

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、3個とも赤玉である確率は

$\frac{_{5}C_3}{_{12}C_3} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$

(2) 3個とも色が異なる確率

3個とも色が異なる場合は、赤、白、青をそれぞれ1個ずつ取り出す必要がある。赤玉の選び方は $_{5}C_1 = 5$ 通り、白玉の選び方は $_{4}C_1 = 4$ 通り、青玉の選び方は $_{3}C_1 = 3$ 通りである。

したがって、3個とも色が異なる取り出し方は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りである。

したがって、3個とも色が異なる確率は

$\frac{5 \times 4 \times 3}{220} = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

(3) 3個の玉の色が2種類である確率

これは少し複雑なので、場合分けして考える。

(i) 赤玉と白玉のみの場合：

赤玉2個、白玉1個の場合: $_{5}C_2 \times _{4}C_1 = \frac{5 \times 4}{2} \times 4 = 10 \times 4 = 40$

赤玉1個、白玉2個の場合: $_{5}C_1 \times _{4}C_2 = 5 \times \frac{4 \times 3}{2} = 5 \times 6 = 30$

(ii) 赤玉と青玉のみの場合：

赤玉2個、青玉1個の場合: $_{5}C_2 \times _{3}C_1 = \frac{5 \times 4}{2} \times 3 = 10 \times 3 = 30$

赤玉1個、青玉2個の場合: $_{5}C_1 \times _{3}C_2 = 5 \times \frac{3 \times 2}{2} = 5 \times 3 = 15$

(iii) 白玉と青玉のみの場合：

白玉2個、青玉1個の場合: $_{4}C_2 \times _{3}C_1 = \frac{4 \times 3}{2} \times 3 = 6 \times 3 = 18$

白玉1個、青玉2個の場合: $_{4}C_1 \times _{3}C_2 = 4 \times \frac{3 \times 2}{2} = 4 \times 3 = 12$

これらの合計は $40 + 30 + 30 + 15 + 18 + 12 = 145$

したがって、3個の玉の色が2種類である確率は

$\frac{145}{220} = \frac{29}{44}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{22}$

(2) $\frac{3}{11}$

(3) $\frac{29}{44}$