$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$ , $xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ (4) $x^3+y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x+y$ , $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $x^3+y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$を簡単にします。$x$の分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛け、$y$の分母と分子に $3-\sqrt{5}$ を掛けます。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

(1) $x+y = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} + \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{7+3\sqrt{5} + 7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$xy = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = 1$

(2) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{47}{1} = 47$

(4) $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = 7(7^2 - 3(1)) = 7(49 - 3) = 7(46) = 322$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 7$, $xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 47$

(4) $x^3+y^3 = 322$