$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$, $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + y, xy$ (2) $x^2 + y^2$ (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ (4) $x^3 + y^3$

## 問題3

1. 問題の内容

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$, $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + y, xy$

(2) $x^2 + y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ と $xy$ を求める。まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$x + y = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$xy = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{49 - 45}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(2) $x^2 + y^2$ を求める。 $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = (7)^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を求める。$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{47}{1} = 47$

(4) $x^3 + y^3$ を求める。 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = 7(7^2 - 3(1)) = 7(49 - 3) = 7(46) = 322$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = 7$, $xy = 1$

(2) $x^2 + y^2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 47$

(4) $x^3 + y^3 = 322$