問題は以下の通りです。 HW10.2: ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。 (1) 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を求めます。 (2) ベクトル積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求めます。 (3) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積を求めます。 (4) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に直交し、ノルムが1のベクトルを求めます。 HW10.3: 点A(4, 3, -2)が与えられ、$ \overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$、$\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を満たす点BとCがあります。このとき、3点A, B, Cを通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

HW10.2:

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。

(1) 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を求めます。

(2) ベクトル積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求めます。

(3) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積を求めます。

(4) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に直交し、ノルムが1のベクトルを求めます。

HW10.3:

点A(4, 3, -2)が与えられ、$\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$、$\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を満たす点BとCがあります。このとき、3点A, B, Cを通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

HW10.2:

(1) 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ は、対応する成分の積の和で計算されます。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(-3) + (-1)(2) + (4)(1) = -6 - 2 + 4 = -4$

(2) ベクトル積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、次の行列式で計算されます。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{i}((-1)(1) - (4)(2)) - \mathbf{j}((2)(1) - (4)(-3)) + \mathbf{k}((2)(2) - (-1)(-3)) = \mathbf{i}(-1 - 8) - \mathbf{j}(2 + 12) + \mathbf{k}(4 - 3) = -9\mathbf{i} - 14\mathbf{j} + \mathbf{k}$

したがって、$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積は、ベクトル積のノルムで与えられます。

$||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = \sqrt{(-9)^2 + (-14)^2 + (1)^2} = \sqrt{81 + 196 + 1} = \sqrt{278}$

(4) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に直交するベクトルは、ベクトル積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と同じ方向を向いています。ノルムが1のベクトルは、$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ をそのノルムで割ることで得られます。

$\frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{||\mathbf{a} \times \mathbf{b}||} = \frac{1}{\sqrt{278}} \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9/\sqrt{278} \\ -14/\sqrt{278} \\ 1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$

また、逆方向のベクトルも条件を満たします。したがって、

$\pm \begin{bmatrix} -9/\sqrt{278} \\ -14/\sqrt{278} \\ 1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$

HW10.3:

$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$であるので、$\mathbf{b} = \mathbf{a} + \overrightarrow{AB}$。

$\overrightarrow{AC} = \mathbf{c} - \mathbf{a}$であるので、$\mathbf{c} = \mathbf{a} + \overrightarrow{AC}$。

よって$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix}$

A, B, Cを通る平面の法線ベクトルは$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$で与えられる。これはHW10.2(2)の計算結果を用いて、$\begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix}$とわかる。

よって、平面の方程式は $-9(x-4) -14(y-3) + (z+2) = 0$となる。

これを整理すると、$-9x + 36 -14y + 42 + z + 2 = 0$

$-9x -14y + z + 80 = 0$

つまり$9x + 14y - z - 80 = 0$

3. 最終的な答え

HW10.2:

(1) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -4$

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) 平行四辺形の面積 = $\sqrt{278}$

(4) $\pm \begin{bmatrix} -9/\sqrt{278} \\ -14/\sqrt{278} \\ 1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$

HW10.3:

平面の方程式: $9x + 14y - z - 80 = 0$