断面積が変化する配管があり、断面1から水が $u_1 = 12 m/s$ で噴出している。断面2での半径は $5 cm$ 、流速は $u_2 = 6 m/s$ である。噴出する水の流速を $8 m/s$ および $15 m/s$ にそれぞれ変化させるために、断面1の直径をそれぞれいくつにすればよいか求める。

1. 問題の内容

断面積が変化する配管があり、断面1から水が $u_1 = 12 m/s$ で噴出している。断面2での半径は $5 cm$ 、流速は $u_2 = 6 m/s$ である。噴出する水の流速を $8 m/s$ および $15 m/s$ にそれぞれ変化させるために、断面1の直径をそれぞれいくつにすればよいか求める。

2. 解き方の手順

非圧縮性流体の連続の式を用いる。つまり、断面積 $A$ と流速 $u$ の積 $Au$ は一定である。

断面1での断面積を $A_1$、断面2での断面積を $A_2$ とすると、

$A_1 u_1 = A_2 u_2$

ここで、$A_1 = \pi (d_1/2)^2 = \pi d_1^2/4$、$A_2 = \pi r_2^2$ である。$r_2 = 5 cm = 0.05 m$ である。

よって、

$\frac{\pi d_1^2}{4} u_1 = \pi r_2^2 u_2$

$d_1^2 = \frac{4 r_2^2 u_2}{u_1}$

$d_1 = 2 r_2 \sqrt{\frac{u_2}{u_1}}$

今、$u_1 = 12 m/s$、$u_2 = 6 m/s$ のとき、$d_1 = 2 \times 0.05 \sqrt{\frac{6}{12}} = 0.1 \times \sqrt{0.5} = 0.1 \times 0.707 = 0.0707 m = 7.07 cm$。これは初期状態。

(a) 噴出する水の流速を $u_1' = 8 m/s$ にしたい場合。

$A_1' u_1' = A_2 u_2$ より、

$\frac{\pi (d_1')^2}{4} u_1' = \pi r_2^2 u_2$

$(d_1')^2 = \frac{4 r_2^2 u_2}{u_1'}$

$d_1' = 2 r_2 \sqrt{\frac{u_2}{u_1'}} = 2 \times 0.05 \sqrt{\frac{6}{8}} = 0.1 \sqrt{0.75} = 0.1 \times 0.866 = 0.0866 m = 8.66 cm$

(b) 噴出する水の流速を $u_1'' = 15 m/s$ にしたい場合。

$A_1'' u_1'' = A_2 u_2$ より、

$\frac{\pi (d_1'')^2}{4} u_1'' = \pi r_2^2 u_2$

$(d_1'')^2 = \frac{4 r_2^2 u_2}{u_1''}$

$d_1'' = 2 r_2 \sqrt{\frac{u_2}{u_1''}} = 2 \times 0.05 \sqrt{\frac{6}{15}} = 0.1 \sqrt{0.4} = 0.1 \times 0.632 = 0.0632 m = 6.32 cm$

3. 最終的な答え

噴出する水の流速を $8 m/s$ にするためには、断面1の直径を $8.66 cm$ にすれば良い。

噴出する水の流速を $15 m/s$ にするためには、断面1の直径を $6.32 cm$ にすれば良い。