(1) $2m^2 - n^2 - mn - m + n = 18$ を満たす自然数 $m, n$ を求めよ。 (2) $x, y$ がともに整数で、$x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ を満たすとき、$(x, y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $2m^2 - n^2 - mn - m + n = 18$ を満たす自然数 $m, n$ を求めよ。

(2) $x, y$ がともに整数で、$x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ を満たすとき、$(x, y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$2m^2 - n^2 - mn - m + n = 18$ を変形する。

$2m^2 - m(n+1) - n^2 + n = 18$

$2m^2 - m(n+1) - (n^2 - n) - 18 = 0$

$m$ について解くために、二次方程式の解の公式を用いる。

$m = \frac{(n+1) \pm \sqrt{(n+1)^2 - 4(2)(-n^2+n-18)}}{4}$

$m = \frac{(n+1) \pm \sqrt{n^2 + 2n + 1 + 8n^2 - 8n + 144}}{4}$

$m = \frac{(n+1) \pm \sqrt{9n^2 - 6n + 145}}{4}$

$m$ が自然数であるためには、$9n^2 - 6n + 145$ が平方数である必要がある。

$9n^2 - 6n + 145 = k^2$ (kは自然数)とおく。

$(3n-1)^2 + 144 = k^2$

$k^2 - (3n-1)^2 = 144$

$(k + 3n - 1)(k - 3n + 1) = 144$

$k + 3n - 1$ と $k - 3n + 1$ は整数の組で、積が144となる。また、$k + 3n - 1 > k - 3n + 1$ である。

また、$k + 3n - 1$ と $k - 3n + 1$ の和は $2k$ となり偶数なので、$k + 3n - 1$ と $k - 3n + 1$ はともに偶数である必要がある。

144を偶数の積で表すと、

$144 = 72 \times 2 = 36 \times 4 = 24 \times 6 = 18 \times 8 = 12 \times 12$

これらの組み合わせについて、$m$ と $n$ が自然数となるものを探す。

(i) $k + 3n - 1 = 72, k - 3n + 1 = 2$ のとき、 $2k = 74$ より $k = 37$。

$3n - 1 = 37 - 2 = 35$ より $3n = 36$ で $n = 12$。

$m = \frac{12+1 \pm 37}{4}$。

$m = \frac{48}{4} = 12$ または $m = \frac{-24}{4} = -6$。

$m$ は自然数なので、$m = 12$。

(ii) $k + 3n - 1 = 36, k - 3n + 1 = 4$ のとき、 $2k = 40$ より $k = 20$。

$3n - 1 = 20 - 4 = 16$ より $3n = 17$ で、$n$ は整数にならない。

(iii) $k + 3n - 1 = 24, k - 3n + 1 = 6$ のとき、 $2k = 30$ より $k = 15$。

$3n - 1 = 15 - 6 = 9$ より $3n = 10$ で、$n$ は整数にならない。

(iv) $k + 3n - 1 = 18, k - 3n + 1 = 8$ のとき、 $2k = 26$ より $k = 13$。

$3n - 1 = 13 - 8 = 5$ より $3n = 6$ で $n = 2$。

$m = \frac{2+1 \pm 13}{4}$。

$m = \frac{16}{4} = 4$ または $m = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$。

$m$ は自然数なので、$m = 4$。

(v) $k + 3n - 1 = 12, k - 3n + 1 = 12$ のとき、 $2k = 24$ より $k = 12$。

$3n - 1 = 12 - 12 = 0$ より $3n = 1$ で、$n$ は整数にならない。

したがって、$(m, n) = (12, 12), (4, 2)$。

(2)

$x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ を変形する。

$(x-y)^2 + 2y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$

$(x-y)^2 - 2(x-y) - 2y - 8y + 2y^2 + 13 = 0$

$(x-y)^2 - 2(x-y) + 1 + 2y^2 - 10y + 12 = 0$

$(x-y-1)^2 + 2(y^2 - 5y) + 12 = 0$

$(x-y-1)^2 + 2(y^2 - 5y + \frac{25}{4}) - \frac{25}{2} + 12 = 0$

$(x-y-1)^2 + 2(y-\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{2} = 0$

$2(x-y-1)^2 + 4(y-\frac{5}{2})^2 - 1 = 0$

$2(x-y-1)^2 + (2y-5)^2 = 1$

$x, y$ が整数なので、$x-y-1$ と $2y-5$ は整数である。

したがって、$2(x-y-1)^2$ と $(2y-5)^2$ は非負の整数である。

$(2y-5)^2 = 1$ のとき、$2y-5 = \pm 1$。

$2y = 6$ または $2y = 4$。

$y = 3$ または $y = 2$。

(i) $y = 3$ のとき、$(2y-5)^2 = 1$ より $2(x-3-1)^2 = 0$。

$2(x-4)^2 = 0$ より $x = 4$。

(ii) $y = 2$ のとき、$(2y-5)^2 = 1$ より $2(x-2-1)^2 = 0$。

$2(x-3)^2 = 0$ より $x = 3$。

したがって、$(x, y) = (4, 3), (3, 2)$。

3. 最終的な答え

(1) $(m, n) = (12, 12), (4, 2)$

(2) $(x, y) = (4, 3), (3, 2)$