三角形ABCにおいて、角CABの二等分線と辺BCの交点をDとする。三角形ABCの面積が156 cm$^2$、三角形ABDの面積が96 cm$^2$、AB = 12 cmであるとき、ACの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角CABの二等分線と辺BCの交点をDとする。三角形ABCの面積が156 cm$^2$、三角形ABDの面積が96 cm$^2$、AB = 12 cmであるとき、ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCと三角形ABDの面積比を考える。三角形ABCと三角形ABDは高さが共通であるため、面積比は底辺の比に等しい。

すなわち、

$\frac{三角形ABDの面積}{三角形ABCの面積} = \frac{BD}{BC}$

与えられた値を代入すると、

$\frac{96}{156} = \frac{BD}{BC}$

これを約分すると、

$\frac{8}{13} = \frac{BD}{BC}$

したがって、$BD:BC = 8:13$である。

これから、$DC:BC = (13-8):13 = 5:13$となり、$BD:DC = 8:5$である。

次に、角の二等分線の性質を用いる。角CABの二等分線が辺BCと点Dで交わるとき、

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

が成り立つ。

$AB = 12$、 $BD:DC = 8:5$を代入すると、

$\frac{12}{AC} = \frac{8}{5}$

これを解くと、

$8AC = 12 \times 5 = 60$

$AC = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5$

3. 最終的な答え

ACの長さは7.5 cm。

選択肢の③が正解。

解答番号は 41 に 3 を記入する。