(5) 複素数の等式 $(3-2i)(x+yi) = 11-16i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求める問題。 (6) 3次方程式 $6x^3 + 4x^2 - x - 1 = 0$ を解く問題。

1. 問題の内容

(5) 複素数の等式 $(3-2i)(x+yi) = 11-16i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求める問題。

(6) 3次方程式 $6x^3 + 4x^2 - x - 1 = 0$ を解く問題。

2. 解き方の手順

(5)

まず、左辺を展開します。

$(3-2i)(x+yi) = 3x + 3yi - 2xi - 2yi^2 = 3x + 3yi - 2xi + 2y = (3x+2y) + (3y-2x)i$

したがって、等式は

$(3x+2y) + (3y-2x)i = 11 - 16i$

となります。

複素数の相等より、実部と虚部がそれぞれ等しいので、

$3x + 2y = 11$

$3y - 2x = -16$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式を2倍、2つ目の式を3倍すると、

$6x + 4y = 22$

$9y - 6x = -48$

これらを足し合わせると、

$13y = -26$

$y = -2$

これを $3x + 2y = 11$ に代入すると、

$3x + 2(-2) = 11$

$3x - 4 = 11$

$3x = 15$

$x = 5$

したがって、$x=5, y=-2$ となります。

(6)

3次方程式 $6x^3 + 4x^2 - x - 1 = 0$ を解きます。

まず、$x = -\frac{1}{2}$ を代入してみると、

$6(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 1 = 6(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \neq 0$

次に、$x = \frac{1}{2}$ を代入してみると、

$6(\frac{1}{2})^3 + 4(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}) - 1 = 6(\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{4} + 1 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \neq 0$

次に、$x = -1$ を代入してみると、

$6(-1)^3 + 4(-1)^2 - (-1) - 1 = -6 + 4 + 1 - 1 = -2 \neq 0$

次に、$x = 1$ を代入してみると、

$6(1)^3 + 4(1)^2 - (1) - 1 = 6 + 4 - 1 - 1 = 8 \neq 0$

有理数解を求めるために、有理数定理を利用します。

可能性のある有理数解は、$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}$ です。

$x = -\frac{1}{3}$ を代入してみると、

$6(-\frac{1}{3})^3 + 4(-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) - 1 = 6(-\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{9} + \frac{4}{9} + \frac{3}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{4}{9} \neq 0$

$x = \frac{1}{3}$ を代入してみると、

$6(\frac{1}{3})^3 + 4(\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3}) - 1 = 6(\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) - \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{9} + \frac{4}{9} - \frac{3}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \neq 0$

$x = -\frac{1}{6}$ を代入してみると、

$6(-\frac{1}{6})^3 + 4(-\frac{1}{6})^2 - (-\frac{1}{6}) - 1 = 6(-\frac{1}{216}) + 4(\frac{1}{36}) + \frac{1}{6} - 1 = -\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{6} - 1 = -\frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{6}{36} - \frac{36}{36} = -\frac{27}{36} = -\frac{3}{4} \neq 0$

$x = \frac{1}{6}$ を代入してみると、

$6(\frac{1}{6})^3 + 4(\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6}) - 1 = 6(\frac{1}{216}) + 4(\frac{1}{36}) - \frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{36} + \frac{1}{9} - \frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} - \frac{6}{36} - \frac{36}{36} = -\frac{37}{36} \neq 0$

与えられた3次方程式は因数定理を利用して、$(ax+b)$で因数分解できる形を考えます。

$6x^3 + 4x^2 - x - 1 = (2x+1)(3x^2+ \frac{1}{2}x -1) = (2x+1)(3x+ \frac{1}{2} )$

$(3x-1)(2x + 1) = 6x^2 + 3x -2x -1=0$

$6x^3 + 4x^2 - x - 1 = 0$ を因数分解します。

$(2x+1)(3x^2+ \frac{1}{2}x-1) = 0$

$(2x+1)(3x-1)(1x)=0$ 整数解がない

$2x+1=0$ とすると $x = -\frac{1}{2}$ を解に持つ。

$6x^3 + 4x^2 - x - 1 = (2x+1)(3x^2 + \frac{1}{2} x - 1) = 0$

$x = -\frac{1}{2}$

$3x^2 + \frac{1}{2} x - 1 = 0$

$6x^2 + x - 2 = 0$

$(2x-1)(3x+2)=0$

$2x-1 = 0, x = \frac{1}{2}$

$3x+2=0, x = -\frac{2}{3}$

$x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(5) $x = 5, y = -2$

(6) $x = -\frac{1}{2}, x = \frac{1}{2}, x = -\frac{2}{3}$