複素数 $z$ と $w$ が $|z| = 2$, $|w| = 5$ を満たし, $z\overline{w}$ の実部が 3 であるとき, $|z - w|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ と $w$ が $|z| = 2$, $|w| = 5$ を満たし, $z\overline{w}$ の実部が 3 であるとき, $|z - w|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず, $|z - w|^2$ を計算する。

$|z - w|^2 = (z - w)(\overline{z - w}) = (z - w)(\overline{z} - \overline{w}) = z\overline{z} - z\overline{w} - w\overline{z} + w\overline{w} = |z|^2 - z\overline{w} - \overline{z\overline{w}} + |w|^2$

ここで, $z\overline{w} + \overline{z\overline{w}} = 2\text{Re}(z\overline{w})$ であるから,

$|z - w|^2 = |z|^2 - 2\text{Re}(z\overline{w}) + |w|^2$

問題文より, $|z| = 2$, $|w| = 5$, $\text{Re}(z\overline{w}) = 3$ であるから, これらを代入する。

$|z - w|^2 = 2^2 - 2(3) + 5^2 = 4 - 6 + 25 = 23$

したがって, $|z - w| = \sqrt{23}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{23}$