与えられた３つの式について、二重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた３つの式について、二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ を外すには、$a = x+y$, $b = xy$ となる $x, y$ を見つける必要があります。このとき、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ となります。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ について考えます。

$7 = x+y$, $10 = xy$ となる $x, y$ を探します。

$x=5$, $y=2$ とすると、$x+y=5+2=7$、$xy=5 \times 2=10$ となり、条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ について考えます。

まず、$6\sqrt{3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{27}$ と変形します。

すると、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$ となります。

$12 = x+y$, $27 = xy$ となる $x, y$ を探します。

$x=9$, $y=3$ とすると、$x+y=9+3=12$、$xy=9 \times 3=27$ となり、条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ について考えます。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。

$4 = x+y$, $3 = xy$ となる $x, y$ を探します。

$x=3$, $y=1$ とすると、$x+y=3+1=4$、$xy=3 \times 1=3$ となり、条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1$

ゆえに、$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$