問題258は、$x, y, z$を整数としたときに、与えられた条件を満たす整数の組$(x, y, z)$の個数を求める問題です。 (1) $1 \le x \le 5, 1 \le y \le 5, 1 \le z \le 5$ (2) $1 \le x < y < z \le 5$ (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ (4) $x+y+z=5, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$

## 解答

1. 問題の内容

問題258は、$x, y, z$を整数としたときに、与えられた条件を満たす整数の組$(x, y, z)$の個数を求める問題です。

(1) $1 \le x \le 5, 1 \le y \le 5, 1 \le z \le 5$

(2) $1 \le x < y < z \le 5$

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$

(4) $x+y+z=5, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) 各変数$x, y, z$はそれぞれ1から5までの整数値を取れるので、それぞれ5通りの選択肢があります。したがって、組$(x, y, z)$の総数は、それぞれの変数の選択肢の数を掛け合わせたものになります。

(2) $1 \le x < y < z \le 5$を満たす整数の組$(x, y, z)$を求めるには、1から5までの5つの整数から3つを選び、小さい順に$x, y, z$に割り当てることで求めることができます。組み合わせの公式${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使用します。

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$を満たす整数の組$(x, y, z)$を求めるには、重複組み合わせの考え方を利用します。5つの異なる箱（1から5に対応）に3つの同じボールを入れる方法の数を数えます。これは、5つの箱と3つのボールを並べる順列の数と考えることができます。仕切り記号を用いると、これは8個のものから3つを選ぶ組み合わせと同じです。

(4) $x+y+z=5, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$を満たす整数の組$(x, y, z)$を求めるには、これも重複組み合わせの考え方を利用します。これは、5つの同じボールを3つの異なる箱（$x, y, z$に対応）に入れる方法の数を数えることと同じです。

計算:

(1) $5 \times 5 \times 5 = 125$

(2) ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

(3) ${}_5 H_3 = {}_{5+3-1} C_3 = {}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(4) ${}_3 H_5 = {}_{3+5-1} C_5 = {}_7 C_5 = {}_7 C_2 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. 最終的な答え

(1) 125組

(2) 10組

(3) 35組

(4) 21組