次の式を計算します。 $\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{2}+1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $2+\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{3})$

$= \sqrt{2} + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{3}$

$= 1 + 2$

$= 3$

3. 最終的な答え

3